参考文献

-2008年10月26日-
以下の本を参考にさせていただきました．ありがとうございます．

  1. 「非ユークリッド幾何の世界」 寺坂英孝著, 講談社
  2. 「複素数と非ユークリッド幾何」 梅沢敏夫著, 槙書店 [絶版]
  3. 「ユークリッド幾何から現代幾何へ」小林昭七著, 日本評論社
  4. 「双曲幾何」深谷賢治著, 岩波書店
  5. 「双曲幾何学への招待」谷口雅彦・奥村善英著，培風館
  6. 「ピタゴラスの定理でわかる相対性理論」見城尚志＋佐野茂著，技術評論社
  7. 「Modern Geometry with Applications」George A.Jennings, Springer-Verlag
  8. 「幾何再入門」G.ジェニングス著，伊里正夫・伊里由美訳，岩波書店 [Gの翻訳，絶版]


A.「非ユークリッド幾何の世界」
一番最初に読んだ本です．思ったより簡単でしかもかなり厳密な証明も付いているので「非ユークリッド幾何はそんなに難しくないし，面白い」と興味を惹かれました．モデルは主に「半球面モデル」ですが，最後に「クラインモデル」の簡単な説明も載っています．歴史的な話もたくさん載っていて，しかも「ブルーバックス」シリーズなので財布にもやさしく，最初に読むにはとても良いと思います．そのせいか初版は1977年ですが，版を重ねて30刷となりました．
B.「複素数と非ユークリッド幾何」
次にはずーと前に買って「本箱の肥やし」となっていたこの本を読みました．第3章の「非ユークリッド幾何入門」の章が　ポアンカレ平面の図形的な説明でとても分かりやすく，しかも　「平面」なので， CabriUで簡単に遊ぶことができ，さらに興味は膨らみました．ただこの本の第四章は私には少し難しすぎて（図も少ない)もっと詳しいことを知りたい気持ちにさせられました．モデルは「ポアンカレ平面」と「ポアンカレ円盤」です．このあとC〜Eの三冊をほとんど同時に購入しました．
C. 「ユークリッド幾何から現代幾何へ」
この本で初めて「ユークリッド幾何」の(古典的)公理・定理系の概観を知りました．歴史的なことも，個人的な感想も適度に載っていて，第2章までは面白く読めます．第3章からは微分幾何の予備知識がないと難しいと思います．第2章では，双曲的直角三角形に対して「ピタゴラスの定理」を直接にポアンカレ平面上で計算で証明して，次に一般の三角形を二つの直角三角形に分割し　余弦・正弦定理を証明しています．「ピタゴラスの定理から余弦・正弦定理へ」という流れは，高校での余弦定理の証明の仕方と同じなので，高校生（一般の大学生にも) には分かりやすいと思います．　(このやり方は拝借させて頂きました．) しかし直接 ピタゴラスの定理を証明すると,やはりそこそこ計算が必要なので，私は「平行線角の定理」を最初に説明して，平行補助線を引くことにより証明しました．この方が 厳密さでは劣るものの 計算が少なく WeB向きと考えたからです．モデルは最初に「ポアンカレ平面」を詳しく述べ，あとで簡単に「ポアンカレ円盤」，「クラインモデル」，「擬球モデル」について触れると言うスタイルです．「擬球モデル」は余り他の本に載っていなかったので助かりました．
D.「双曲幾何」
「ポアンカレ平面」と「ポアンカレ円盤」，ならびに「双曲面モデル」が載っています．この本は「双曲面モデル」がかなり詳しく載っています．さらに最後の章は「タイル張り」について初歩的なことがくわしく説明されています．「双曲幾何学への招待」のタイル張りの説明と合わせて読むと　「わかった気もち」になります．
E.「双曲幾何学への招待」
京都大での教養学部生向けの講義ノートが基になっていて「非常に綺麗に簡潔にまとまった本」です．本文が180ページの薄い本ながら，最後は「3次元双曲空間のタイル張り」まで述べています．しかも「主な証明つき」です．したがって説明は行間を読まないと良く分かりません．例えば「一次分数変換」の説明はたった4ページ，球面三角法の説明も3ページ，「双曲面モデル」の説明も1ページ・・・といった短さです．しかし驚くことにこれで全てを簡潔に証明しています．とにかくこの本は「骨格」だけの本です．歴史的なこと，余分なことはまったく載っていません．しかし証明の鮮やかさや説明の簡潔さは際立っているので，一読の価値はあります．喩えるなら「噛めば噛むほど味の出る本」でしょうか？　良く噛まないと良さは分からないと思います．モデルは最初が「ポアンカレ円盤」．次が「ポアンカレ平面」，「クラインモデル」，「半球面モデル」，「双曲面モデル」と続きます．
F.「ピタゴラスの定理でわかる相対性理論」
[A]と同じく一般の読者向けに書かれた本ですが，こちらは21世紀になってからの出版なので，数式や証明は非常に少ないです．球面三角法（ピタゴラスの定理）の証明は参考にさせていただきました．この本には球面三角法の正弦・余弦定理の図形的な証明も載っています．残念ながら双曲三角法の図形的説明は載っていません．（そもそもそれは，可能でしょうか？) 証明は少ないですが，いろいろな逸話が非常に豊富で，面白く気楽に読める本です．
G&H.「幾何再入門」(Modern Geometry with Applications)
双曲幾何の本というより，Modern Geometry(?)のトピックスを分かりやすく証明つきで書いた本です．内容は「ユークリッド幾何」，「球面幾何」，「２次曲線」,「射影幾何」，「相対性理論」で，「双曲幾何」は割愛されています． 「球面幾何」の章では，球面三角法の厳密な証明（初歩のベクトル解析を使う) が載っています．また球面余弦定理の2つの表現の同値性の説明を，「双対球面三角形」を使ってやっています．ここには図形的なイメージがあって面白いです．しかし，特にこの本で良かったのは「射影幾何」の章で，とても解かり易く，かつ初歩的で重要なことは，殆ど全て証明されています．（ただし「射影幾何の基本定理」の証明はない)．特に，「複比」の章は「クラインモデル」を勉強する時にとても役立ちました．
　


by 生越　茂樹(Ogose Shigeki)