(x^5) -10(x^3)+5(x^2)+10x+1 の厳密解 
                                                          with  Mathematica 13.3

Galois群が(Subscript[C, 5]) のとき                                                   2025 年2月  by     (HyperlinkURL["mixedmoss", https://mixedmoss.com])

§0.  [準備]  原始元，分解方程式，ガロア群

以下は GaloisGroupProgram.nb を使って求めた結果です．

ClearAll["`*"];
f=x^5−10x^3+5x^2+10x+1;

f =0の解を x1, x2, x3, x4, x5 . f(x)=0 の原始元の一つをv = x1+2 x2 + 3 x3 + 4 x4 + 5 x5． vの最小多項式をV[x] とすると

V[x_]=-4375+2500 x-125 (x^3)+(x^5);

また x1, x2, x3, x4, x5 を原始元vで表すと

{x1,x2,x3,x4,x5}={((35250-5125 v-2575 (v^2)+25 (v^3)+22 (v^4))/5375),((-98500+16875 v+7325 (v^2)-140 (v^3)-63 (v^4))/5375),((41500-10875 v-3550 (v^2)+95 (v^3)+32 (v^4))/5375),((71500-13750 v-4575 (v^2)+130 (v^3)+37 (v^4))/5375),((-49750+12875 v+3375 (v^2)-110 (v^3)-28 (v^4))/5375)};

f(x) のGalois群を Gal , σ=(1,2,3,4,5) とすると
　 Gal={Id, σ,(σ^2),(σ^3),(σ^4)}= (Subscript[C, 5])
 ただし，(Subscript[C, 5])は5次巡回群で，分解列は    Gal=(Subscript[C, 5]) ⊳ {Id}

§１．Lagrange分解式 r1,r2,r3,r4 の5乗の値を求める

(Subscript[C, 5]) ⊳{Id}の部分に注目し，ラグランジュの5次分解式をつくる .(ζ は1の原始５乗根のひとつ．)
このとき，V(v)と円分方程式 (v^4)+(v^3)+(v^2)+v+1 で割った余りを考える．(PolynomialMod)

r0=x1+ x2+  x3 + x4 + x5//PolynomialMod[#,V[v]]&;
r1=x1+ζ x2+ ζ^2 x3 +ζ^3 x4 +ζ^4 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
r2=x1+ζ^2 x2+ ζ^4 x3 +ζ x4 +ζ^3 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
r3=x1+ζ^3 x2+ ζ x3 +ζ^4 x4 +ζ^2 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
r4=x1+ζ^4 x2+ ζ^3 x3 +ζ^2 x4 +ζ x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;

解と係数の関係より r0 = 0. またσにより分解式は次の様に移る．

(#)({{{, ({{r1→(ζ^4)r1→(ζ^3)r1→(ζ^2)r1→ζr1→r1, □}, {r2→(ζ^3)r2→ζr2→(ζ^4)r2→(ζ^2)r2→r2, }, {r3→(ζ^2)r3→(ζ^4)r3→ζr3((→ζ)^3)r3→r3, }, {r4→ζr4→(ζ^2)r4→(ζ^3)r4((→ζ)^4)r4→r4, }})}})

さらに 同型写像 ω: ζ→(ζ^3) とすると，分解式は次のように移る.
                           
                            (by ω) r1→r3→r4→r2

(Subscript[R, 1])=(r1^5),(Subscript[R, 2])=(r2^5),  (Subscript[R, 3])=(r3^5),(Subscript[R, 4])=(r4^5)とおく．(#)より (Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])は σで不変なので(Subscript[C, 5])で不変．故に  Q(ζ)に入るはず． 「単純計算」して

r1^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
r2^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
r3^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
r4^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

Mathematica は何故か直してないが，1+ζ+(ζ^2)+(ζ^3)+(ζ^4)=0 だから，(((r3))^5)=3125(ζ^4)=(5^5)(ζ^4)
故に  ((Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4]))=((5^5)(ζ^3),(5^5)ζ,(5^5)(ζ^4),(5^5)(ζ^2))

あとは5乗根を取れば良いだけだが，偏角の取り方が５通りもあるから，これからが難しい．

(実は「(Subscript[R, 1]) =(5^5)(ζ^3)」を ωで移せば,残りの３つもすぐ求まる．)

§2. r1 (r2^2), r2 (r4^2),(r1^2)r3, r2 (r4^2) の値を考慮しr1,r2,r3,r4 の
値を求める

2 - 1. r1 r4, r2 r3,(r1^2)r3, r1 (r2^2) の値を求める

(##)({{{, ({{x1=1/5(r1+r2+r3+ r4)
x2=1/5((ζ^4)r1+(ζ^3)r2+(ζ^2)r3+ζ r4)
x3=1/5((ζ^3)r1+ζ r2+(ζ^4) r3+(ζ^2) r4)
x4=1/5((ζ^2)r1+(ζ^4)r2+ζ r3+(ζ^3) r4)
x5=1/5(ζ r1+(ζ^2)r2+(ζ^3)r3+(ζ^4) r4), }, {, 
}})}})
まず ζ を (ζ^2), (ζ^3), (ζ^4) に変えても 解集合{x1,x2,x3,x4,x5}は変わらない．
 §1(#)より，r1r4, r2r3, r1 (r2^2),(r1^2)r3は σによって不変なので , (Subscript[C, 5])の固定体Q(ζ)に入る．「単純計算」して，

r1 r4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
r2 r3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
r1 r2^2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
r1 ^2r3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

「1+ζ+(ζ^2)+(ζ^3)+(ζ^4)=0」 だから，上の結果より,
             ({{{, ({{r1 r4=25, ⋯(1)}, {r2 r3=25, ⋯(2)}, {r1 (r2^2)=125 (ζ^4), ⋯(3)}, {r3 (r1^2)=125 (ζ^2), ⋯(4)}})}})

(実は「r1 r4=25と　r1 (r2^2)=125 (ζ^4)」を ωで移せば,残りの2つもすぐ求まる．)

（A)三角関数を利⽤してr1,r2,r3,r4を求める

r1とr4, r2とr3は互いに複素共役だから(「補充」参照)，(1)(2)より
  r1= 5( cos (Subscript[θ, 1])+  i sin (Subscript[θ, 1])) , r2= 5( cos (Subscript[θ, 2])+  i sin (Subscript[θ, 2])), r3= 5( cos(- (Subscript[θ, 2]))+  i sin(-(Subscript[θ, 2]))), r4= 5( cos(- (Subscript[θ, 1]))+  i sin(-(Subscript[θ, 1])))
とおける．ここで 「ζ=cos(((2π)/5))+i sin(((2π)/5))」 としても一般性を失わない.  このとき(3) と(4)より

                                 (Subscript[θ, 1])+2(Subscript[θ, 2])=((8π)/5) かつ 2(Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])=((4π)/5)
                                 
                                 ∴  (Subscript[θ, 1])=((16π)/25)  かつ  (Subscript[θ, 2])=((12π)/25)

即ち  (A)({{{, ({{r1, =5(cos(16π/25)+i sin(16π/25))}, {r2, =5(cos(12π/25)+i sin(12π/25))}, {r3, =5(cos(-12π/25)+i sin(-12π/25))}, {r4, =5(cos(-16π/25)+i sin(-16π/25))}})}})

(B)累乗根を利用して r1,r2,r3,r4を求める(その1)

複素数z= r( cos θ+ i sin θ) (r>0, -π<θ<π)  に対し,  (z^(1/5))=  (r^(1/5))(cos((θ/5))+ i cos((θ/5))) と定義する．(Mathematicaも多分同じ定義)
それに対し  (z^(1/5))=(r^(θ/5))(cos((θ/5)+((2kπ)/5))+ i cos((θ/5)+((2kπ)/5))) (kは適当な整数)と定義すると，
いずれも5 乗すればzであるが， (z^(1/5)) の⽅は偏角が5通りある.（この定義はここだけの話です）

このとき（1） より (r1,r2,r3,r4)=(5((ζ^3)^(1/5)),5(ζ^(1/5)),5((ζ^4)^(1/5)),5((ζ^2)^(1/5)))

(A)を同値変形してみる．同値変形なので，ζ の偏角を ((2π)/5) とする .  (z^(1/5))において zの偏角は (-π)から πで考えているから, 
                                                  
                                                            arg(((((ζ^3)))^(1/5)))=   (1/5)(-((4π)/5))=-((4π)/25)

一方「arg((Subscript[r, 1]))= (Subscript[θ, 1])=((16π)/25) 」だから，((ζ^3)^(1/5))= ((( (ζ^3) ))^(1/5)) × (ζ^2)

同様にして   (ζ^(1/5))=(((ζ))^(1/5))×ζ,     ((ζ^4)^(1/( 5)))=((((ζ^4)))^(1/5))×(ζ^4),      ((ζ^2)^(1/5))=((((ζ^2)))^(1/5))×(ζ^3)

故に，       (B) ({{{, ({{r1, =5((ζ^3)^(1/5))=5((((ζ^3)))^(1/5))×(ζ^2)}, {r2, =5(ζ^(1/5))  =5(((ζ))^(1/5)) ×ζ}, {r3, =5((ζ^4)^(1/5))=5((((ζ^4)))^(1/5))×(ζ^4)}, {r4, =5((ζ^2)^(1/5))=5((((ζ^2)))^(1/5))×(ζ^3)}})}})

(C)累乗根を利用して r1,r2,r3,r4を求める(その2)

今度は「Galois群が (Subscript[D, 5])∧ (Subscript[R, i])が虚数」の時も考え「(A)は無かったものとして」最初から解いてみる．(3)(4)を満たす複素数解を求めるには，参考文献「可解な5次方程式について」の補題が役立つ．それは 「(Subscript[r, 1])は (Subscript[R, 1])の任意の5乗根にとっても一般性を失わない」という補題である．すなわち「(Subscript[r, 1])を (Subscript[R, 1])の特定の5乗根にとって(3)(4)が解を持つ時，(Subscript[r, 1])を (Subscript[R, 1])の別の5乗根にとっても(3)(4)は解を持ち，fの解の集合は同じとなる」ということ．

さて，ζ=cos(((2π)/5))+i sin(((2π)/5)) としてみる．そして  (Subscript[r, 1])=5((ζ^3)^(1/5))=5((((ζ^3)))^(1/5)) と（勝手に) 決める． このとき

             (Subscript[r, 2])={ 5(((ζ))^(1/5)) ,5(((ζ))^(6/5)),5(((ζ))^(11/5)),5(((ζ))^(16/5)),5(((ζ))^(21/5))}

 の何れかとなる．これを(3)(4)へ代入して適するのを見つけると，  (Subscript[r, 2])=5(((ζ))^(11/5))であることが分かる．
 r1とr4, r2とr3は互いに複素共役だから
       
              (C) ({{{, ({{r1, =5((ζ^3)^(1/5))=5((((ζ^3)))^(1/5))}, {r2, =5(ζ^(1/5))  =5(((ζ))^(1/5)) ×(ζ^2)}, {r3, =5((ζ^4)^(1/5))=5((((ζ^4)))^(1/5))×(ζ^3)}, {r4, =5((ζ^2)^(1/5))=5((((ζ^2)))^(1/5))}})}})

(B) と (C) は集合として異なるが，同じfの解を与える．

§3. x1,x2,x3,x4,x5 の値を求める

3通りの方法で求めて，それを比較する．

3-1.  (A) を利用して，x1, x2, x3, x4, x5 を三角関数で求める

ζ=Cos[2Pi/5]+I Sin[2Pi/5]//Simplify;

r1,r2,..の値を r1A, r2A, .. とする．

θ1=16Pi/25; θ2=12Pi/25;
r1A=5(Cos[θ1]+I Sin[θ1])//Simplify;
r2A=5(Cos[θ2]+I Sin[θ2])//Simplify;
r3A=5(Cos[-θ2]+I Sin[-θ2])//Simplify;
r4A=5(Cos[-θ1]+I Sin[-θ1])//Simplify;

三角関数で表されたf (x) の解を x1A, x2A, ... とすると，

x1A=1/5(r1A+r2A+r3A+r4A)//Simplify
x2A=1/5(ζ^4 r1A+ζ^3r2A+ζ^2r3A+ζ r4A)//Simplify
x3A=1/5(ζ^3r1A+ζ r2A+ζ^4r3A+ζ^2r4A)//Simplify
x4A=1/5(ζ^2r1A+ζ^4r2A+ζ r3A+ζ^3r4A)//Simplify
x5A=1/5(ζ r1A+ζ^2r2A+ζ^3r3A+ζ^4r4A)//Simplify

3-2.  (B) を利用して，x1, x2, x3, x4, x5 を累乗根で求める

r1, r2, .. の値を r1B, r2B, .. とする．

r1B=5 (ζ^3)^(1/5)*ζ^2//Simplify;
r2B=5 (ζ)^(1/5)*ζ//Simplify;
r3B=5 (ζ^4)^(1/5)*ζ^4//Simplify;
r4B=5 (ζ^2)^(1/5)*ζ^3//Simplify;

累乗根で表されたf (x) の解を x1B, x2B, ... とすると，

x1B=1/5(r1B+r2B+r3B+r4B)//Simplify;
x2B=1/5(ζ^4r1B+ζ^3r2B+ζ^2r3B+ζ r4B)//Simplify;
x3B=1/5(ζ^3r1B+ζ r2B+ζ^4r3B+ζ^2r4B)//Simplify;
x4B=1/5(ζ^2r1B+ζ^4r2B+ζ r3B+ζ^3r4B)//Simplify;
x5B=1/5(ζ r1B+ζ^2r2B+ζ^3r3B+ζ^4r4B)//Simplify;
x1B//TraditionalForm//Print
x2B//TraditionalForm//Print
x3B//TraditionalForm//Print
x4B//TraditionalForm//Print
x5B//TraditionalForm//Print

3-3.  (C) を利用して，x1, x2, x3, x4, x5 を累乗根で求める

r1, r2, .. の値を r1C, r2C, .. とする．

r1C=5 (ζ^3)^(1/5)//Simplify;
r2C=5 (ζ)^(1/5)*ζ^2//Simplify;
r3C=5 (ζ^4)^(1/5)*ζ^3//Simplify;
r4C=5 (ζ^2)^(1/5)//Simplify;

累乗根で表されたf (x) の解を x1C, x2C, ... とすると，

x1C=1/5(r1C+r2C+r3C+r4C)//Simplify;
x2C=1/5(ζ^4r1C+ζ^3r2C+ζ^2r3C+ζ r4C)//Simplify;
x3C=1/5(ζ^3r1C+ζ r2C+ζ^4r3C+ζ^2r4C)//Simplify;
x4C=1/5(ζ^2r1C+ζ^4r2C+ζ r3C+ζ^3r4C)//Simplify;
x5C=1/5(ζ r1C+ζ^2r2C+ζ^3r3C+ζ^4r4C)//Simplify;
x1C//TraditionalForm//Print
x2C//TraditionalForm//Print
x3C//TraditionalForm//Print
x4C//TraditionalForm//Print
x5C//TraditionalForm//Print

(B)(C)での5乗根は，虚数の5乗根であることに注意されたい．

3-3. 「三角関数で表された解(A)」と「累乗根で表された解(B)&(C)」を比較する

厳密な比較は難しいので近似値を求めると

N[{x1A,x2A,x3A,x4A,x5A}]//Sort
N[{x1B,x2B,x3B,x4B,x5B}]//Sort
N[{x1C,x2C,x3C,x4C,x5C}]//Sort

(B)(C)の方の解は，とても小さい虚部を持っている．見づらいので除くと，

trim[x_]:=If[Abs@Im@N[x]<10^(-14),Re@N[x],N[x]]
trim/@{x1B,x2B,x3B,x4B,x5B}//Sort
trim/@{x1C,x2C,x3C,x4C,x5C}//Sort

(10^(-14))未満の虚部を除くと3種類の解は一致するので，この3つは一致しかつf の解は全て実数と見て良い．念の為グラフも描いてみる．

Plot[f,{x,-4,3},PlotLegends->Placed["y=f(x)=(x^5)-10(x^3)+5(x^2)+10x+1",{Bottom,Left}]]

§4. まとめ

ガロア群が (Subscript[C, 5])の場合

[Step1] 5次のLagrangeの分解式を作り (Subscript[r, 1]), (Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]) の5乗(Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])の値を求める (ζ は１の原始５乗根の一つ)

({{{, ({{(Subscript[r, 0]), =(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]) (=0)}, {(Subscript[r, 1]), =(Subscript[x, 1])+ζ(Subscript[x, 2])+(ζ^2) (Subscript[x, 3])+(ζ^3) (Subscript[x, 4])+(ζ^4) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[r, 2]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^2) (Subscript[x, 2])+(ζ^4) (Subscript[x, 3])+ζ (Subscript[x, 4])+(ζ^3) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[r, 3]),  =(Subscript[x, 1])+(ζ^3) (Subscript[x, 2])+ζ (Subscript[x, 3])+(ζ^4) (Subscript[x, 4])+(ζ^2) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[r, 4]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^4) (Subscript[x, 2])+(ζ^3) (Subscript[x, 3])+(ζ^2) (Subscript[x, 4])+ζ (Subscript[x, 5])}})}}) ⇒   ({{{, ({{(Subscript[x, 1]), =(Subscript[r, 1])+(Subscript[r, 2])+(Subscript[r, 3])+(Subscript[r, 4])}, {(Subscript[x, 2]), =(ζ^4)(Subscript[r, 1])+(ζ^3)(Subscript[r, 2])+(ζ^2) (Subscript[r, 3])+ζ (Subscript[r, 4])}, {(Subscript[x, 3]), =(ζ^3)(Subscript[r, 1])+ζ(Subscript[r, 2])+(ζ^4) (Subscript[r, 3])+(ζ^2) (Subscript[r, 4])}, {(Subscript[x, 4]),  =(ζ^2)(Subscript[r, 1])+(ζ^4)(Subscript[r, 2])+ζ (Subscript[r, 3])+(ζ^3) (Subscript[r, 4])}, {(Subscript[x, 5]), =ζ(Subscript[r, 1])+(ζ^2)(Subscript[r, 2])+(ζ^3) (Subscript[r, 3])+(ζ^4) (Subscript[r, 4])}})}})
 
   ここで 次の関係が成り立つ.
                              (#)({{{, ({{(Subscript[r, 1])をσで移すと (Subscript[r, 1])→(ζ^4)(Subscript[r, 1]), □}, {(Subscript[r, 2])をσで移すと (Subscript[r, 2])→(ζ^3)(Subscript[r, 2]),  }, {(Subscript[r, 3])をσで移すと (Subscript[r, 3])→(ζ^2)(Subscript[r, 3]),  }, {(Subscript[r, 4])をσで移すと (Subscript[r, 4])→ ζ(Subscript[r, 4]),  }})}})
σは 分解式を「 r1→(ζ^4)r1→→(ζ^3)r1→→(ζ^2)r1→ζr1→r1」 のように移す．

さらに ω: ζ→(ζ^3) とすると，分解式は次のように移る.                           
                            　(by ω) r1→r3→r4→r2

(#)から(Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4]) は  (Subscript[C, 5])で不変．故に Q(ζ)に入るので (Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4]) の値は「単純計算」で求まる．(方程式などは不要)

[Step2] (Subscript[R, k]) (1≦k≦4) の5乗根 (Subscript[r, k]) (1≦k≦4)のうち，((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3]),((Subscript[r, 2])^2)(Subscript[r, 1]) の値を満たす  (Subscript[r, k]) を求める．それを代入すれば f(x)の解が求まる

(Subscript[r, 1])(Subscript[r, 4]),(Subscript[r, 2])(Subscript[r, 3]),((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3]),((Subscript[r, 2])^2)(Subscript[r, 1])も  Q(ζ)に入るので 単純計算で値は求まる．さらに (Subscript[r, 1])と (Subscript[r, 4]) ，(Subscript[r, 2])(Subscript[とr, 3])が複素共役が言える(補足参照)

今の例ではうまく(Subscript[r, 1]) ((Subscript[r, 2])^2)と(Subscript[r, 3]) ((Subscript[r, 1])^2)の偏角が πの有理数倍になったので　角度がπの有理数倍の三角関数で表すことが出来た．しかしこれは一般には成り立たない．その場合は(A)の方法ではなく，(C)の方法で求めるしかない．すなわち  (Subscript[R, 1])の 5乗根 (Subscript[r, 1])を1つ固定し，
(Subscript[R, 2]) の5乗根 (Subscript[r, 2])の5通りを試す．このようにして((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3]),((Subscript[r, 2])^2)(Subscript[r, 1])を満たす(Subscript[r, 1])~(Subscript[r, 4])を見つけることができる．

【注】実際に必要な「単純計算」は，本当は「(Subscript[R, 1]),(Subscript[r, 1])(Subscript[r, 4]),(Subscript[r, 1])((Subscript[r, 2])^2)」の3つだけ．後の式はこれを ω で移せば得られる．[以上]

§5．補足

[補足1](Subscript[r, 1]) と (Subscript[r, 4]), (Subscript[r, 2])と (Subscript[r, 3])は複素共役

((Subscript[r, 1])^5)∈Q(ζ)だから，((Subscript[r, 1])^5)=a+b ζ+c (ζ^2)+d (ζ^3) (a,b,c,d は有理数)とおける．これを (ω^3):ζ→(ζ^2) で移すと
                                        ({{{, ({{((Subscript[r, 1])^5)=a+b (ζ^2)+c (ζ^4)+d ζ, □}, {((Subscript[r, 2])^5)=a+b (ζ^4)+c (ζ^3)+d (ζ^2), □}, {((Subscript[r, 4])^5)=a+b (ζ^3)+c ζ+d (ζ^4), □}, {((Subscript[r, 3])^5)=a+b ζ+c (ζ^2)+d (ζ^3), □}})}})
a,b,c,d は有理数だから  (Subscript[r, 1])と (Subscript[r, 4])，(Subscript[r, 2])と (Subscript[r, 3])は複素共役

[補足2]f の解は全て実数.

補足１より明らか．

[補足3]「解は　角度がπの有理数倍の三角関数で表される」とは限らない．

この例ではうまく 「角度がπの有理数倍」の三角関数で表すことが出来たので，私は結構長いこと，これは (Subscript[C, 5])のGalois群を持てば成り立つと予想していた．しかし(Subscript[C, 5])のGalois群を持つ他の方程式を解くとそうなっていないので，これは誤りと分かった． それどころか，私は5個ほど(Subscript[C, 5])のGalois群を持つ方程式を解いたのだが，どれも「角度がπの有理数倍の三角関数」では表せなかった．どうやらこの例はとても特別な例らしい．この例は「モニックで，4次の係数が0，係数は整数で絶対値が10以下」という条件では，唯一のGalois群が (Subscript[C, 5]) の方程式なのだが，この様な特別な性質を持っていたことは，とても幸運でした．解いていてとても面白かった．

他の5次方程式は (HyperlinkURL["https://mixedmoss/com/Mathematica/Galois", https://mixedmoss.com/mathematica/Galois/index.shtml]) にお越しください