(x^5)-5x+12 の厳密解  with Mathematica 13.3

Galois群が(Subscript[D, 5]) の方程式            　          2025 年2月  by  (HyperlinkURL["mixedmoss", https://mixedmoss.com])

§0.  [準備] 原始元，分解方程式，ガロア群

以下は GaloisGroupProgram.nb を使って求めた結果です．

ClearAll["`*"]
f=x^5-5x+12;

f(x)=0の解を x1, x2, x3, x4, x5 . f(x)=0 の原始元の一つをv = 5 x1+2 x2 + 3 x3 + 4 x4 + 1 x5 ． vの最小多項式をV[x] とすると

V[x_]=148996000-1521500 (x^2)-12500 (x^4)+3325 (x^6)-110 (x^8)+(x^10);

また x1, x2, x3, x4, x5 を原始元vで表すと

{x1,x2,x3,x4,x5}={(1/9239628268800)(5117531026400+2122210541600 v-92467168500 (v^2)-16386746700 (v^3)-6336236320 (v^4)+421422680 (v^5)+183059535 (v^6)-991635 (v^7)-1592443 (v^8)-78265 (v^9)),(1/923962826880)(-201405134560-37539305120 v-7761390780 (v^2)-3277349340 (v^3)+993991688 (v^4)+84284536 (v^5)-12606567 (v^6)-198327 (v^7)-7141 (v^8)-15653 (v^9)),((-16080205600+881249100 (v^2)-18671920 (v^4)-295305 (v^6)+8621 (v^8))/23936860800),(1/923962826880)(-201405134560+37539305120 v-7761390780 (v^2)+3277349340 (v^3)+993991688 (v^4)-84284536 (v^5)-12606567 (v^6)+198327 (v^7)-7141 (v^8)+15653 (v^9)),(1/9239628268800)(5117531026400-2122210541600 v-92467168500 (v^2)+16386746700 (v^3)-6336236320 (v^4)-421422680 (v^5)+183059535 (v^6)+991635 (v^7)-1592443 (v^8)+78265 (v^9))};

f(x) のGalois群を Gal , σ=(1,2,3,4,5), τ=(2,3,5,4) とすると, (τ^2)=(2,5)(3,4)
 Gal={Id, σ,(σ^2),(σ^3),(σ^4),(τ^2)σ,(τ^2)(σ^2),(τ^2)(σ^3),(τ^2)(σ^4)}= (Subscript[D, 5])= (Subscript[C, 5])+  (τ^2)(Subscript[C, 5])
ただし，(Subscript[C, 5])は5次巡回群, (Subscript[D, 5])は10次の2面体群で，分解列は    Gal=(Subscript[D, 5]) ⊳ (Subscript[C, 5]) ⊳ {Id}

§１．Lagrange分解式 r1,r2,r3,r4 の5乗の値を求める

(Subscript[C, 5]) ⊳{Id}の部分に注目し，ラグランジュの5次分解式をつくる .(ζ は1の原始５乗根のひとつ．)
このとき，V(v)と円分方程式 (v^4)+(v^3)+(v^2)+v+1 で割った余りを考える．(PolynomialMod)

r0=x1+ x2+  x3 + x4 + x5//PolynomialMod[#,V[v]]&;
r1=x1+ζ x2+ ζ^2 x3 +ζ^3 x4 +ζ^4 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
r2=x1+ζ^2 x2+ ζ^4 x3 +ζ x4 +ζ^3 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
r3=x1+ζ^3 x2+ ζ x3 +ζ^4 x4 +ζ^2 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
r4=x1+ζ^4 x2+ ζ^3 x3 +ζ^2 x4 +ζ x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;

解と係数の関係より r0 = 0. また

(#)({{{, ({{r1をσで移すと r1→(ζ^4)r1,, (τ^2)で移すと r1→r4}, {r2をσで移すと r2→(ζ^3)r2,, (τ^2)で移すと r2→r3}, {r3をσで移すと r3→(ζ^2)r3,, (τ^2)で移すと r3→r2}, {r4をσで移すと r4→ ζr4,, (τ^2)で移すと r4→r1}})}})

即ち, (τ^2) は 分解式を「 r1↔r4，r2↔r3」 のように移し，σは 「 r1→(ζ^4)r1→→(ζ^3)r1→→(ζ^2)r1→ζr1→r1」 のように移す． 
さらに 同型写像 ω: ζ→(ζ^3) とすると，分解式は次のように移る.                           
                            (by ω) r1→r3→r4→r2 →r1⋯         (by (ω^2)) r1↔r4，r2↔r3          

以下，R1=(r1^5),R2=(r2^5),R3=(r3^5),R4=(r4^5)とおく．(#)よりR1,R2,R3,R4はσで不変．t1=R1+R4, t2=R2+R3, t3=r1r4, t4=r2r3 ((はτ)^2) で不変
故に t1,t2,t3,t4 は(Subscript[D, 5])で不変なので, (Subscript[D, 5])の固定体 Q(ζ)に入るはず． 「単純計算」で

t1=r1^5+r4^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
t2=r2^5+r3^5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
t3=r1*r4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
t4=r2*r3//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

【参考】(ω^3): ζ→(ζ^2) で t1 を移すと，t2=-8750-5000((ζ^4)+ζ)=-3750+5000 (ζ^2)+5000 (ζ^3)
同様にして t3 の式から　計算なしに t4 の式が得られる.

ここで ζの偏角を(±2π/5)に取っても一般性を失わない．(偏角を±4π/5に取ることは (ω^3)で移すことと同じなので，下の式でr1→r2→r4→r3と移すだけ.よって解のセットは変わらない.)このとき「 (ζ^2)+(ζ^3)=1/2(-1-(Sqrt[5]))」だから 
(r1^5)+(r4^5)=-6250+2500(Sqrt[5]) ,(r2^5)+(r3^5)=-6250-2500(Sqrt[5]),r1r4=-5(Sqrt[5]) ,r2r3=5(Sqrt[5])           --(1)

故に
         R1+R4=-6250+2500(Sqrt[5]), R1 R4=-(((5(Sqrt[5])))^5), R2+R3=-6250-2500(Sqrt[5])，R2 R3=(((5(Sqrt[5])))^5)
「R1,R4 を２解とする２次方程式」と「R2, R3 を２解とする２次方程式」を作ることができるので R1,R2,R3,R4の値が求まる．   理論的に解けることが分かったのでSolveを使って求め 変数 Rset に入れる．

Rset={R1,R2,R3,R4}/.Solve[{R1+R4==-6250+2500Sqrt[5],R1 R4==-(5Sqrt[5])^5, R2+R3==-6250-2500Sqrt[5], R2 R3==(5Sqrt[5])^5},{R1,R2,R3,R4}]//FullSimplify

ここで

625 (-5-2 (Sqrt[5])-3 (Sqrt[5+(11/(Sqrt[5]))]))==-125 (25+10 (Sqrt[5])+3 (Sqrt[125+55 (Sqrt[5])]))

であるから，(R1,R2,R3,R4)の組は4組あるが，これらは順序が異なっているだけで，最初の組を(1,2,3,4)と改めておくと，全ての解は (1,2,3,4),(4,2,3,1),(1,3,2,4),(4,3,2,1)の4通り．

【注】実は §2(##)より，x1,x2,x3,x4の値は (r1,r2,r3,r4)を(r4,r3,r2,r1),(r3, r1,r4,r2), (r2,r4,r1,r3)に変えても変わらないので実質は2通り．またGalois群が (Subscript[C, 5]) の時は「単純計算」で R1~R4が求まったが，  (Subscript[D, 5])のときは，「単純計算」で求まるのは t1~t4であり，R1~R4は，２次方程式を解かないと求まらない．

§2.(r1 (r2^2)+(r3^2) r4) と ((r1^2) r3+r2 (r4^2)) の値を考慮し r1,r2,r3,r4 の値を求める

ここで r0,r1,r2,r3,r4の定義とr0=0から

(##)({{{, ({{x1=1/5(r1+r2+r3+ r4)
x2=1/5((ζ^4)r1+(ζ^3)r2+(ζ^2)r3+ζ r4)
x3=1/5((ζ^3)r1+ζ r2+(ζ^4) r3+(ζ^2) r4)
x4=1/5((ζ^2)r1+(ζ^4)r2+ζ r3+(ζ^3) r4)
x5=1/5(ζ r1+(ζ^2)r2+(ζ^3)r3+(ζ^4) r4), }, {, 
}})}})
 w1=r1 (r2^2)+r2 (r4^2) と w2=(r1^2) r3+r2 (r4^2) は σとτ で変わらないので，(Subscript[D, 5]) の不変体Q(ζ)に入る．「単純計算」して

r1 r2^2+r3^2 r4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
r1^2 r3+r2 r4^2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

【参考】(ω^3): ζ→(ζ^2) で w1の式 を移すと 
r2 (r4^2)+(r1^2)r3=-50-100 (ζ^4)-100 ζ=-50-100(-1-(ζ^2)-(ζ^3))=50+100 (ζ^2)+100 (ζ^3)

「(ζ^2)+(ζ^3)=1/2(-1-(Sqrt[5]))」だから，
(r1(r2^2)+ (r3^2)r4, (r1^2)r3+ r2 (r4^2))=(50(Sqrt[5]),-50(Sqrt[5]))--(2)

ここで R1,R2,R3,R4は実数だから， r1,r2,r3,r4は実数としても一般性を失わない（補足参照)．このとき(2)を満たす(r1,r2,r3,r4)は次の2組となる．

realRoot[p_]:=Sign[p]Abs[p]^(1/5)(*実数に対し実5乗根を求めるコマンド*)
realRoot/@Rset;
rset=Select[%,(a1=#[[1]];a2=#[[2]];a3=#[[3]];a4=#[[4]];
$w1=a1 a2^2+a3^2 a4;$w2=a1^2 a3+a2 a4^2;FullSimplify[ $w1]==50Sqrt[5]&&FullSimplify[$w2]==-50Sqrt[5])&]

§3．x1,x2,x3,x4,x5 の値を求める

§2(##)より，x1,x2,x3,x4の値は (r1,r2,r3,r4)を(r4,r3,r2,r1),(r3, r1,r4,r2), (r2,r4,r1,r3)に変えても変わらないので，先の2組の解は実質は同じ．故に{x1,x2,x3,x4,x5} の値は, 次の {x1,x2,x3,x4,x5}となる．

{$r1,$r2,$r3,$r4}=rset[[1]];
ζ=Cos[2π/5]+I Sin[2π/5];
x1=1/5($r1+$r2+ $r3+ $r4)//Simplify
x2=1/5(ζ^4$r1+ζ^3 $r2+ζ ^2 $r3+ζ $r4)//Simplify
x3=1/5(ζ^3$r1+ζ $r2+ζ^4 $r3+ζ^2$r4)//Simplify
x4=1/5(ζ^2$r1+ζ^4 $r2+ζ $r3+ζ^3 $r4)//Simplify
x5=1/5(ζ$r1+ζ^2 $r2+ζ ^3 $r3+ζ^4 $r4)//Simplify

近似値を使い f (x) = 0 の解と比較する．

N[{x1,x2,x3,x4,x5}]//Sort
x/.NSolve[f==0,x]//Sort//Quiet

見た目では一致している．また少し時間はかかるが f(x1)=0となることが確かめられる．(FullSimplifyを2回使う)  なお実数解x1,虚数解x2を 累乗根を使って書くと，

x1//TraditionalForm//Print
x2//TraditionalForm//Print

§4．まとめ

[Step1] 5次のLagrangeの分解式 (Subscript[r, 0]),(Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]) を作る (ζ は１の原始５乗根の一つ)

({{{, ({{(Subscript[r, 0]), =(Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5]) (=0)}, {(Subscript[r, 1]), =(Subscript[x, 1])+ζ(Subscript[x, 2])+(ζ^2) (Subscript[x, 3])+(ζ^3) (Subscript[x, 4])+(ζ^4) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[r, 2]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^2) (Subscript[x, 2])+(ζ^4) (Subscript[x, 3])+ζ (Subscript[x, 4])+(ζ^3) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[r, 3]),  =(Subscript[x, 1])+(ζ^3) (Subscript[x, 2])+ζ (Subscript[x, 3])+(ζ^4) (Subscript[x, 4])+(ζ^2) (Subscript[x, 5])}, {(Subscript[r, 4]), =(Subscript[x, 1])+(ζ^4) (Subscript[x, 2])+(ζ^3) (Subscript[x, 3])+(ζ^2) (Subscript[x, 4])+ζ (Subscript[x, 5])}})}}) ⇒   ({{{, ({{(Subscript[x, 1]), =(Subscript[r, 1])+(Subscript[r, 2])+(Subscript[r, 3])+(Subscript[r, 4])}, {(Subscript[x, 2]), =(ζ^4)(Subscript[r, 1])+(ζ^3)(Subscript[r, 2])+(ζ^2) (Subscript[r, 3])+ζ (Subscript[r, 4])}, {(Subscript[x, 3]), =(ζ^3)(Subscript[r, 1])+ζ(Subscript[r, 2])+(ζ^4) (Subscript[r, 3])+(ζ^2) (Subscript[r, 4])}, {(Subscript[x, 4]),  =(ζ^2)(Subscript[r, 1])+(ζ^4)(Subscript[r, 2])+ζ (Subscript[r, 3])+(ζ^3) (Subscript[r, 4])}, {(Subscript[x, 5]), =ζ(Subscript[r, 1])+(ζ^2)(Subscript[r, 2])+(ζ^3) (Subscript[r, 3])+(ζ^4) (Subscript[r, 4])}})}})
 
   ここで 次の関係が成り立つ.
                              (#)({{{, ({{(Subscript[r, 1])をσで移すと (Subscript[r, 1])→(ζ^4)(Subscript[r, 1]),, (τ^2) で移すと (Subscript[r, 1])→(Subscript[r, 4])}, {(Subscript[r, 2])をσで移すと (Subscript[r, 2])→(ζ^3)(Subscript[r, 2]),, (τ^2) で移すと (Subscript[r, 2])→(Subscript[r, 3])}, {(Subscript[r, 3])をσで移すと (Subscript[r, 3])→(ζ^2)(Subscript[r, 3]),, (τ^2) で移すと (Subscript[r, 3])→(Subscript[r, 2])}, {(Subscript[r, 4])をσで移すと (Subscript[r, 4])→ ζ(Subscript[r, 4]),, (τ^2) で移すと (Subscript[r, 4])→(Subscript[r, 1])}})}})
(τ^2) は 分解式を「 (Subscript[r, 1])↔(Subscript[r, 4])，(Subscript[r, 2])↔(Subscript[r, 3])」 のように移し，σは 「 (Subscript[r, 1])→(ζ^4)(Subscript[r, 1])→→(ζ^3)(Subscript[r, 1])→→(ζ^2)(Subscript[r, 1])→ζ(Subscript[r, 1])→(Subscript[r, 1])」 のように移す． 

さらに 同型写像 ω: ζ→(ζ^3) とすると，分解式は次のように移る.                           
                        (##)     (by ω) (Subscript[r, 1])→(Subscript[r, 3])→(Subscript[r, 4])→(Subscript[r, 2]) →(Subscript[r, 1])         (by (ω^2)) (Subscript[r, 1])↔(Subscript[r, 4])，(Subscript[r, 2])↔(Subscript[r, 3])

(Subscript[t, 1])=((Subscript[r, 1])^5)+((Subscript[r, 4])^5), (Subscript[t, 2])=((Subscript[r, 2])^5)+((Subscript[r, 3])^5), (Subscript[t, 3])=(Subscript[r, 1])(Subscript[r, 4]), (Subscript[t, 4])=(Subscript[r, 2])(Subscript[r, 3]) とおく．
(Subscript[t, 1]),  (Subscript[t, 2]), (Subscript[t, 3]), (Subscript[t, 4]) は (Subscript[D, 5])で不変なので, (Subscript[D, 5])の固定体 Q(ζ)に入り  (Subscript[t, 1]) ,(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3]),(Subscript[t, 4]) の値は「単純計算」で求まる．２次方程式を１回解くことにより((Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])) の値が求まる．ここで「 ((Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])) は全て実数」または「 (Subscript[r, 1])と (Subscript[r, 4]),  (Subscript[r, 2])と  (Subscript[r, 3])が複素共役」（補足参照)

[Step2]((Subscript[r, 1])((Subscript[r, 2])^2)+((Subscript[r, 3])^2)(Subscript[r, 4])) と (((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])+(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2)) の値を考慮し (Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]) の値を求め，さらに (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4]),(Subscript[x, 5])を求める．

同様に考えると (Subscript[w, 1])=(Subscript[r, 1])((Subscript[r, 2])^2)+((Subscript[r, 3])^2)(Subscript[r, 4 ]),(Subscript[w, 2])=((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])+(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2) も(Subscript[D, 5])の不変体 Q(ζ)に入る．故に 「単純計算」で  (Subscript[w, 1])と (Subscript[w, 2]) の値は求まる．

(ア)(Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])が実数の時，(Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4])が全て実数としても一般性を失わない.(補足3).  故に (Subscript[w, 1, ])(Subscript[w, 2])を満足させる ((Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4])) はすぐ求まる．

(イ)(Subscript[R, 1])と (Subscript[R, 4]) ,(Subscript[R, 2])と (Subscript[R, 3]) が複素共役な虚数の時，(Subscript[r, 1])(Subscript[とr, 4]),(Subscript[r, 2])(Subscript[とr, 3])は複素共役なので，( (Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]))の取り方の (5^2)通りをチェックすれば良いが，参考文献「可解な5次方程式について」によると，(Subscript[w, 1])(Subscript[とw, 2])を満たす( (Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]))が存在する時は，(Subscript[R, 1])の 任意の5乗根  (Subscript[r, 1])について (Subscript[r, 2])が1通りに決まるので，実際には5通りをチェックすれば良い. このようにして (Subscript[w, 1, ])(Subscript[w, 2])を満足させる ((Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4])) は比較的簡単に求まる．

【注】「単純計算」しないといけないのは 「(Subscript[t, 1])=((Subscript[r, 1])^5)+((Subscript[r, 4])^5), (Subscript[t, 3])=(Subscript[r, 1])(Subscript[r, 4]), (Subscript[w, 1]) =((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])+(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2)」    の3個だけで，後はこれを ωで移せば得られる.

§5．補足

[補足1](Subscript[r, 1]) (Subscript[r, 4]), (Subscript[r, 2]) (Subscript[r, 3]), (Subscript[r, 1])((Subscript[r, 2])^2)+((Subscript[r, 3])^2)(Subscript[r, 4]),((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])+(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2) ,(Subscript[R, 1])+(Subscript[R, 4]),(Subscript[R, 2])+(Subscript[R, 3]) は Q((Sqrt[5]))に入る

((写像ω)^2):ζ→(ζ^4)により「(Subscript[r, 1])↔(Subscript[r, 4]),(Subscript[r, 2])↔(Subscript[r, 3])」．故に (Subscript[r, 1]) (Subscript[r, 4])，(Subscript[r, 2]) (Subscript[r, 3]) , (Subscript[r, 1])((Subscript[r, 2])^2)+((Subscript[r, 3])^2)(Subscript[r, 4]),((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])+(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2)は (ω^2)で変わらない．例えば u=(Subscript[r, 1]) (Subscript[r, 4])とおくと，§1よりu∈Q(ζ)だから u=a+bζ+((cζ)^2)+((dζ)^3)(a,b,c,d ∈Q)とおける．ここで 「(ω^2)によって u は変わらない」ので a+bζ+((cζ)^2)+((dζ)^3)=a+((bζ)^4)+((cζ)^3)+((dζ)^2)(=(a-b)-bζ+(-b+d)(ζ^2)+(-b+c)(ζ^3))
1,ζ,(ζ^2),(ζ^3) はQ上一次独立だから, b=0, c=d. 故に u=a+c((ζ^2)+(ζ^3))∈Q((Sqrt[5]))． 他も同様．

[補足2](Subscript[R, 1]) ,(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])  は 全て実数，または (Subscript[r, 1])と (Subscript[r, 4]) , (Subscript[r, 2])と (Subscript[r, 3]) が複素共役

まず，((Subscript[r, 1])^5)=0 とする.これを ωによって移すと，((Subscript[r, 2])^5)=((Subscript[r, 4])^5)=((Subscript[r, 3])^5)=0 となり矛盾．よって ((Subscript[r, 1])^5) , ((Subscript[r, 2])^5), ((Subscript[r, 3])^5),((Subscript[r, 4])^5)は, どれも 0ではない．
[補足1]より，arg((Subscript[r, 1]))=(Subscript[θ, 1]), arg((Subscript[r, 2]))=(Subscript[θ, 2]) とおくと，r1 r4, r2 r3 が実数となるから， arg((Subscript[r, 3]))=-(Subscript[θ, 2]), arg((Subscript[r, 4]))=-(Subscript[θ, 1]) 
このとき，arg((Subscript[r, 1])((Subscript[r, 2])^2))=(Subscript[θ, 1])+2(Subscript[θ, 2]), arg(((Subscript[r, 3])^2)(Subscript[r, 4]))=-((Subscript[θ, 1])+2(Subscript[θ, 2])) ,arg(((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3]))=2(Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2]), arg((Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2))=-(2(Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])) 
故に（(Subscript[r, 1])((Subscript[r, 2])^2)+((Subscript[r, 3])^2)(Subscript[r, 4])）と　（((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])+(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2)）が実数より,　　

　　　「(Subscript[｜r, 1])((Subscript[r, 2])^2)|=|((Subscript[r, 3])^2)(Subscript[r, 4])|または ((Subscript[r, 1])((Subscript[r, 2])^2)((Subscript[とr, 3])^2)(Subscript[r, 4])が実数)」かつ「((Subscript[｜r, 1])^2)(Subscript[r, 3])|=|(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2)|または (((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])と (Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2)が実数) 」

ここで　(Subscript[｜r, 1])((Subscript[r, 2])^2)|=|((Subscript[r, 3])^2)(Subscript[r, 4])|(Subscript[と｜r, 2])((Subscript[r, 4])^2)|=|((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])|は ω によって互いに移るので，片方が成り立てば，もう一方も成り立ち，これから
 |(Subscript[r, 2])|=|(Subscript[r, 3])|かつ|(Subscript[r, 1])|=|(Subscript[r, 4])|となる．このとき (Subscript[r, 1])と (Subscript[r, 4]) , (Subscript[r, 2])(Subscript[とr, 3]) が複素共役

(Subscript[r, 1])((Subscript[r, 2])^2)，((Subscript[r, 3])^2)(Subscript[r, 4])，((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])， (Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2)が実数のときは， 
　　　　　(Subscript[θ, 1])+2(Subscript[θ, 2])≡0 かつ　2(Subscript[θ, 1])-(Subscript[θ, 2])≡0 →5(Subscript[θ, 1])≡5(Subscript[θ, 2])≡0 (mod π)
従って　(Subscript[R, 1]) ,(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])  は 実数となる．

[補足3](Subscript[R, 1]) ,(Subscript[R, 2]), (Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])  が全て実数のとき，(Subscript[r, 1]) , (Subscript[r, 2]), (Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4])  を実数としても一般性を失わない

((Subscript[R, 1]) ,(Subscript[R, 2]), (Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4]))の値の組を一つ固定する．この時 ((Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]))の選び方は (5^4)通り．これらを集めた集合S={((ζ^k)(Subscript[r, 1]),(ζ^l)(Subscript[r, 2]),(ζ^m)(Subscript[r, 3]),(ζ^n)(Subscript[r, 4]))(k,l,m,n=0,1,2,3,4)} の中の置換μ を次のように定める．
　　　　μ:(Subscript[r, 1])→(Subscript[ζs, 1]),(Subscript[r, 2])→(ζ^2)(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3])→(ζ^3)(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4])→(ζ^4)(Subscript[r, 4])

μによって (Subscript[x, i])は「 (Subscript[x, 1])→(Subscript[x, 5])→(Subscript[x, 4])→(Subscript[x, 3])→(Subscript[x, 2])→(Subscript[x, 1 ])」と動く．((これはτ)^3)によるものと同じ動き.(*)

一方μによって
((Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]))→((Subscript[r, 1])ζ,(Subscript[r, 2])(ζ^2),(Subscript[r, 3])(ζ^3),(Subscript[r, 4])(ζ^4))→((Subscript[r, 1])(ζ^2),(Subscript[r, 2])(ζ^4),(Subscript[r, 3])(ζ^6),(Subscript[r, 4])(ζ^8))→((Subscript[r, 1])(ζ^3),(Subscript[r, 2])(ζ^6),(Subscript[r, 3])(ζ^9),(Subscript[r, 4])(ζ^12))→((Subscript[r, 1])(ζ^4),(Subscript[r, 2])(ζ^8),(Subscript[r, 3])(ζ^12),(Subscript[r, 4])(ζ^16))→((Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]))
と動く．即ち m=0,1,2,3,4 に対し,(μ^m) は ((Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]))を ((Subscript[r, 1])(ζ^m),(Subscript[r, 2])(ζ^(2m)),(Subscript[r, 3])(ζ^(3m)),(Subscript[r, 4])(ζ^(4m)))に移す．　

ここで argζ=2π/5 として良い．((Subscript[r, 1])^5)は実数だから arg (Subscript[r, 1])は π/5 の整数倍．故に{(Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 1])ζ,(Subscript[r, 1])(ζ^2),(Subscript[r, 1])(ζ^3),(Subscript[r, 1])(ζ^4)} の中に実数となるものが一つだけ存在する．
それを (Subscript[r, 1])(ζ^m) とすると，((Subscript[r, 1])(ζ^m))((Subscript[r, 4])(ζ^(4m)))=(Subscript[r, 1])(Subscript[r, 4]) が実数より，(Subscript[r, 4])(ζ^(4m))も実数．次に((Subscript[r, 2])(ζ^(2m)))((((Subscript[r, 4])(ζ^(4m))))^2)=(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 4])^2)(Subscript[が実数よりr, 2])(ζ^(2m))も実数．最後に((Subscript[r, 2])(ζ^(2m)))((Subscript[r, 3])(ζ^(3m)))=(Subscript[r, 2])(Subscript[r, 3]) が実数より (Subscript[r, 2])(ζ^(2m))も実数．故に((Subscript[r, 1])(ζ^m),(Subscript[r, 2])(ζ^(2m)),(Subscript[r, 3])(ζ^(3m)),(Subscript[r, 4])(ζ^(4m)))がすべて実数となる m が存在する.

((Subscript[r, 1])(ζ^m),(Subscript[r, 2])(ζ^(2m)),(Subscript[r, 3])(ζ^(3m)),(Subscript[r, 4])(ζ^(4m)))を改めて((Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]))と置き直すことができる．なぜなら，(*)より，これは (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4]),(Subscript[x, 5]) の名前を付け替えることに対応するから．

[補足4]f が重解を持たない時， 実数解は1個か5個

(ア) (Subscript[R, 1]) ,(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])  が 全て実数のとき. 
[補足3]より，(Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[s, 3,])(Subscript[s, 4 ])が実数としても一般性を失わない．このとき (Subscript[x, 1 ])は実数．

(OverBar[(Subscript[x, 2])])=(OverBar[(ζ^4)(Subscript[r, 1])+(ζ^3)(Subscript[r, 2])+(ζ^2) (Subscript[r, 3])+ζ (Subscript[r, 4])])=ζ(Subscript[r, 1])+(ζ^2)(Subscript[r, 2])+(ζ^3) (Subscript[r, 3])+(ζ^4) (Subscript[r, 4])=(Subscript[x, 5]), 同様に (OverBar[(Subscript[x, 3])])=(Subscript[x, 4])
故に，実数解が1つと複素共役な虚数解が2組ある．

(イ) (Subscript[r, 1])と (Subscript[r, 4]) , (Subscript[r, 2])と (Subscript[r, 3]) が複素共役のとき
Galois群が (Subscript[C, 5])のときと同様にして，(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3]),(Subscript[x, 4]),(Subscript[x, 5]) は全て実数.

結局，Gal=(Subscript[D, 5])のタイプは  (ア),(イ)の2タイプに分かれることになる. Gal=(Subscript[C, 5])の時は (イ)だけだった． Gal=(Subscript[F, 20])のときも(ア)と(イ)に分かれる．

他の5次方程式については，(HyperlinkURL["https://mixedmoss/com/Mathematica/Galois　にお越しください", https://mixedmoss.com/mathematica/Galois/index.shtml])