(x^5) + 15 x + 12 の厳密解  with Mathematica 13.3

Galois群が(Subscript[F, 20]) の方程式　　     2025 年2月(2025年5月修正)  by  　(HyperlinkURL["mixedmoss", https://mixedmoss.com])

§0.  [準備]  原始元, 分解方程式, ガロア群

以下は GaloisGroupProgram.nb を使って求めた結果です．

ClearAll["`*"];  
f=x^5+15x+12;

f(x)=0 の解を x1, x2, x3, x4, x5 (α,β... などの代わりに x1,x2,...を利用する).  f(x) の原始元をv = x1+ 4 x2 + 3 x3 + 2 x4 + 5 x5  ,  vの最小多項式をV[x] とすると

V[x_]=2371842000000000+79290090000000 (x^2)-10682052390000 (x^4)+850670100000 (x^6)-34046433000 (x^8)+523980000 (x^10)+9587025 (x^12)-90000 (x^14)-5370 (x^16)+(x^20);

f のガロア群を Gal とすると，
gal={Id, (τ^3), τ, (τ^2), (τ^2) (σ^4), (σ^4),(τ^3) (σ^4),τ (σ^4),(τ^2) (σ^3), (σ^3), (τ^3) (σ^3),(τ^3) (σ^2),τ (σ^2), (τ^2) (σ^2),  (σ^2), σ, (τ^3) σ,τ σ,(τ^2) σ}=<τ,σ>≃ (Subscript[C, 4]) (Subscript[C, 5])
ただしσ=(1,2,3,4,5),τ=(2,3,5,4)

このように (Subscript[C, 4]) (Subscript[C, 5])の形で書ける群を (Subscript[F, 20])(Frobenius group)というらしい．
分解列は   (Subscript[F, 20])⊳ (Subscript[D, 5]) ⊳ (Subscript[C, 5]) ⊳ {Id}  
ただし (Subscript[C, n])は巡回群，(Subscript[D, n ])は2面体群で
 (Subscript[C, 5])=<σ>, (Subscript[D, 5])=(Subscript[C, 5])+(τ^2)(Subscript[C, 5]),  (Subscript[F, 20])= (Subscript[D, 5])+τ(Subscript[D, 5])=(Subscript[C, 5])+τ(Subscript[C, 5])+(τ^2)(Subscript[C, 5])+(τ^3)(Subscript[C, 5])≃ (Subscript[C, 4]) (Subscript[C, 5])

また 解のvによる表現 sols は次のようになる．

sols={x1,x2,x3,x4,x5}={(-861938718370242204295608211266295749515640000000-684433253827819307591593725116638734918408000000 v+56453863409949377565172037271904795583245800000 (v^2)+19563002556282706292765646235752842691558840000 (v^3)-7978466780980478967648684319768154297604375000 (v^4)-1412078890526740319563466581752545752725075000 (v^5)+454647992046551629938068763322137557640847500 (v^6)+39523989667403257171441630822442153550235500 (v^7)-13776327979571728133852521864693297147931250 (v^8)+182204829309166623059648702064842417343750 (v^9)-82512570458629569770475904931084945494875 (v^10)-16375593393086713704888903663110645815275 (v^11)+4797148900075425726389295085994209777500 (v^12)-306835892721536375300648923135537216500 (v^13)+101218323101025844900848255798867235650 (v^14)+2862937646806542762759958481564843970 (v^15)-733123275960863452231815446003913250 (v^16)+86517962663944011222846746522076950 (v^17)-24177861079325177445822443717163795 (v^18)+109727114703154096983447147223069 (v^19))/2041681628667118655087624863780198236925920000000,(288962986598211429293764452721718394637080000000-174012846661039643819687509171589175686928000000 v-60001378726542522459935163913547847315185400000 (v^2)+19563002556282706292765646235752842691558840000 (v^3)+6580063880550445698229626882944152376275125000 (v^4)-1412078890526740319563466581752545752725075000 (v^5)-316671295975123912024987067169784443651517500 (v^6)+39523989667403257171441630822442153550235500 (v^7)+6067999698672491109590008894958502641868750 (v^8)+182204829309166623059648702064842417343750 (v^9)+96204031481264240681635473494882788795875 (v^10)-16375593393086713704888903663110645815275 (v^11)-1239924706348598058510108525628473142500 (v^12)-306835892721536375300648923135537216500 (v^13)-55503894727181654479874499299363568450 (v^14)+2862937646806542762759958481564843970 (v^15)+49098725383619996457776558599182750 (v^16)+86517962663944011222846746522076950 (v^17)+10156737918838949953161614612963835 (v^18)+109727114703154096983447147223069 (v^19))/1020840814333559327543812431890099118462960000000,(17682965821657195956640032738346434240000+3956628498066676567522910744266347000000 (v^2)-322616275388652119062693539383779437000 (v^4)+11125734870376676599102217027958772500 (v^6)+102128776784474922892498560974779050 (v^8)-6842221945748661717492745300989525 (v^10)-144277777424300821652509703231340 (v^12)+609503629255743300863141717310 (v^14)+39531224767096432236733301402 (v^16)+240601146642007769540230179 (v^18))/63558743528095155461086764482499108480000,(288962986598211429293764452721718394637080000000+174012846661039643819687509171589175686928000000 v-60001378726542522459935163913547847315185400000 (v^2)-19563002556282706292765646235752842691558840000 (v^3)+6580063880550445698229626882944152376275125000 (v^4)+1412078890526740319563466581752545752725075000 (v^5)-316671295975123912024987067169784443651517500 (v^6)-39523989667403257171441630822442153550235500 (v^7)+6067999698672491109590008894958502641868750 (v^8)-182204829309166623059648702064842417343750 (v^9)+96204031481264240681635473494882788795875 (v^10)+16375593393086713704888903663110645815275 (v^11)-1239924706348598058510108525628473142500 (v^12)+306835892721536375300648923135537216500 (v^13)-55503894727181654479874499299363568450 (v^14)-2862937646806542762759958481564843970 (v^15)+49098725383619996457776558599182750 (v^16)-86517962663944011222846746522076950 (v^17)+10156737918838949953161614612963835 (v^18)-109727114703154096983447147223069 (v^19))/1020840814333559327543812431890099118462960000000,(-861938718370242204295608211266295749515640000000+684433253827819307591593725116638734918408000000 v+56453863409949377565172037271904795583245800000 (v^2)-19563002556282706292765646235752842691558840000 (v^3)-7978466780980478967648684319768154297604375000 (v^4)+1412078890526740319563466581752545752725075000 (v^5)+454647992046551629938068763322137557640847500 (v^6)-39523989667403257171441630822442153550235500 (v^7)-13776327979571728133852521864693297147931250 (v^8)-182204829309166623059648702064842417343750 (v^9)-82512570458629569770475904931084945494875 (v^10)+16375593393086713704888903663110645815275 (v^11)+4797148900075425726389295085994209777500 (v^12)+306835892721536375300648923135537216500 (v^13)+101218323101025844900848255798867235650 (v^14)-2862937646806542762759958481564843970 (v^15)-733123275960863452231815446003913250 (v^16)-86517962663944011222846746522076950 (v^17)-24177861079325177445822443717163795 (v^18)-109727114703154096983447147223069 (v^19))/2041681628667118655087624863780198236925920000000};

§１.Lagrange分解式 r1,r2,r3,r4 の5乗の値を求める

1-1. Lagrange分解式

(Subscript[C, 5]) ⊳{Id}の部分に注目し，ラグランジュの5次分解式をつくる .(ζは1の原始５乗根のひとつ．)
このとき，V(v)と円分方程式 (v^4)+(v^3)+(v^2)+v+1 で割った余りを考える．(PolynomialMod).

r0=x1+ x2+  x3 + x4 + x5//PolynomialMod[#,V[v]]&;
r1=x1+ζ x2+ ζ^2 x3 +ζ^3 x4 +ζ^4 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
r2=x1+ζ^2 x2+ ζ^4 x3 +ζ x4 +ζ^3 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
r3=x1+ζ^3 x2+ ζ x3 +ζ^4 x4 +ζ^2 x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;
r4=x1+ζ^4 x2+ ζ^3 x3 +ζ^2 x4 +ζ x5//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&;

解と係数の関係より r0 = 0. 　また以下の性質が成り立つ．

(#1) ({{{, ({{r1をσで移すと r1→(ζ^4)r1,, τで移すと r1→r3,(τ^2)で移すと r1→r4,}, {r2をσで移すと r2→(ζ^3)r2,, τで移すと r2→r1,(τ^2)で移すと r2→r3,}, {r3をσで移すと r3→(ζ^2)r3,, τで移すと r3→r4,(τ^2)で移すと r3→r2,}, {r4をσで移すと r4→ ζr4,, τで移すと r4→r2,(τ^2)で移すと r4→r1,}})}})

τは 分解式を「 r1→r3→r4→r2→r1」 のように移し，σは 「 r1→(ζ^4)r1→→(ζ^3)r1→→(ζ^2)r1→ζr1→r1」 のように移す．
さらに 同型写像 ω: ζ→(ζ^3) とすると，分解式は次のように移る.   ωはτと同じように分解式を移す.                        
                            (by ω) r1→r3→r4→r2 →r1⋯         (by (ω^2)) r1↔r4，r2↔r3

以上より,(#2)R1=(r1^5),R2=(r2^5),R3=(r3^5),R4=(r4^5)とおくと，σは R1~R4を動かさない，τは R1(Overscript[→, τ])R3(Overscript[→, τ])R4(Overscript[→, τ])R2(Overscript[→, τ])R1 のように移す．

1-2.  t1=R1+R4,  t2=R2+R3, t3=r1r4, t4=r2r3 の値を求める

t1=R1+R4, t2=R2+R3, t3=r1r4, t4=r2r3 とおく．(#)より  t1,t2,t3,t4は ((σとτ)^2)で不変．故に t1,t2,t3,t4は (Subscript[D, 5])で不変．さらに τ により t1↔t2 かつ t3↔t4 であるから，(t1+t2), (((t1-t2))^2), (t1-t2)(t3-t4), (t3+t4), (t3*t4) はτで不変で， (Subscript[F, 20])= (Subscript[D, 5])+(Subscript[τD, 5]) だから, これらは (Subscript[F, 20 ])で不変.  故に Q(ζ)に入る．「単純計算」すると，

{R1,R2,R3,R4}={r1,r2,r3,r4}^5;
t1=R1+R4;t2=R2+R3;t3=r1*r4;t4=r2*r3;

p=t1+t2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
(t1-t2)^2 //PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
(t1-t2)(t3-t4)//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
t3+t4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
q=t3*t4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

(Sqrt[225])=15だから，上の計算より　　
                   ({{{, ({{t1-t2, =±15000}, {t1+t2 , =7500}, {(t3,t4), =(±15,∓15)(複号同順)}, {(t1-t2)(t3-t4), <0}})}})
故に(t1,t2,(t3^5),(t4^5))=(R1+R4,R2+R3,R1 R4,R2 R3)=(11250,-3750,-759375,759375)または(-3750,11250,759375,-759375)-(1)

1-3.  (Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4])の値を求める

(1)より，(ア)または(イ)のいずれか

(ア) ({{{, ({{   R1+R4, =11250}, {      R1 R4, =-759375}})}}) 　かつ     ({{{, ({{   R2+R3, =-3750}, {      R2 R3, =759375}})}})  
  　　　　(イ)({{{, ({{   R1+R4, =-3750}, {      R1 R4, =759375}})}})  　    かつ     ({{{, ({{   R2+R3, =11250}, {      R2 R3, =-759375}})}})
 
 R1とR4, R2とR3を解に持つ2次方程式を作って解けば, R1,R2,R3,R4が求まる． ここではSolve で一度に求め Rset に入れる．

Rset={$R1,$R2,$R3,$R4}/.Solve[($R1+$R4==11250&&$R1 $R4==-759375&&$R2+$R3==-3750&&$R2 $R3==759375)||($R1+$R4==-3750&&$R1 $R4==759375&&$R2+$R3==11250&&$R2 $R3==-759375),{$R1,$R2,$R3,$R4}]//Simplify

【ひとりごと】Galois群Galが (Subscript[C, 5])のときは「単純計算」で R1,R2,R3,R4が求まった.  Gal = (Subscript[D, 5])のときは 「単純計算」で t1=R1+R4, t2=R2+R3 が求まった．それから2次方程式を解いて R1,R2,R3,R4が求まった．Gal = (Subscript[F, 20])のときは，t1+t2=R1+R2+R3+R4,  (((t1-t2))^2)=((((R1＋R4)-(R2+R3)))^2) しか「単純計算」では求まらない．これから2次方程式を解いて t1,t2が求まる．（この例では平方根が有理数になったので，このステップは不要でした). さらにもう一回，2次方程式を解いてやっと R1,R2,R3,R4が求まる．

§1’[別解]. R1~R4を解とする4次方程式を立てて R1~R4を求める

(#1,#2)より，R1 + R2+ R3 + R4(=p=t1+t2), R1 R2+R1 R3+R1 R4+R2 R3+R2 R4 +R3 R4,  R1 R2 R3 +R1 R2 R4 +R1 R3 R4 +R2 R3 R4 , R1 R2 R3 R4(=(q^5)=(((t3t4))^5))  は σ, τで不変だから (Subscript[F, 20 ])で不変.  故に Q(ζ)に入る．「単純計算」すると，

s1=p
s2=R1 R2+R1 R3+R1 R4+R2 R3+R2 R4+R3 R4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
s3=R1 R2 R3+R1 R2 R4+R1 R3 R4+R2 R3 R4//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
s4=q^5

故に，R1, R2, R3, R4  を解に持つ方程式は x^4-(s1)(x^3) +(s2) (x^2) -(s3)x+(s4)=0 となる．これを解くと {R1,R2,R3,R4} の値は

x/.Solve[x^4-s1 x^3+ s2 x^2 -s3 x+s4==0,x,Quartics->True]

結局(§1)でやっていたのは，4次方程式を（2次+2次）に分けて解いていただけと分かる．この方法はすっきりしていて, より高次でも使えるが，計算時間がかなりかかる．R1=  (Subscript[l, 0]) +(Subscript[l, 1]) ζ +(Subscript[l, 2])  (ζ^2)+(Subscript[l, 3])  (ζ^3)+(Subscript[l, 4])  (ζ^4) で定義される (Subscript[l, 1]) ~(Subscript[l, 4]) の4次方程式を立てる方が，時間的には速い．(Another_F20.nb 参照)

§2. (r1 (r2^2)+(r3^2) r4)と((r1^2) r3+r2 (r4^2)) の値を考慮し r1,r2,r3,r4 の値を求める

((Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4]))の値は 8組あるがこれらは順序が異なっているだけで，先頭の順序を(1,2,3,4)と改めておいた時, (1,2,3,4),(1,3,2,4),(4,2,3,1),(4,3,2,1)と(2,1,4,3),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,4,1,2)の8通りとなる．  ここで r0,r1,r2,r3,r4の定義とr0=0から

(##)({{{, ({{x1, =1/5(r1+r2+r3+ r4)}, {x2, =1/5((ζ^4)r1+(ζ^3)r2+(ζ^2)r3+ζ r4)}, {x3, =1/5((ζ^3)r1+ζ r2+(ζ^4) r3+(ζ^2) r4)}, {x4, =1/5((ζ^2)r1+(ζ^4)r2+ζ r3+(ζ^3) r4)}, {x5, =1/5(ζ r1+(ζ^2)r2+(ζ^3)r3+(ζ^4) r4)}})}})

w1=r1 (r2^2)+(r3^2) r4 ,  w2=(r1^2) r3+r2 (r4^2)とおく．w1とw2 は ((σとτ)^2) で変わらないので，(Subscript[D, 5]) の固定体に入る． さらに w1 と w2は  τ によって, それぞれ w2 と w1 に入れ替わる.  故に  w1+w2 と (((w1 - w2))^2) は (Subscript[F, 20  ])の固定体Q(ζ)に入る．「単純計算」して

w1=r1 r2^2+r3^2 r4;w2=r1^2 r3+r2 r4^2;
w1+w2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&
(w1-w2)^2//PolynomialMod[#,{V[v],Cyclotomic[5,ζ]}]&

故に「(Subscript[w, 1])+(Subscript[w, 2])=0かつ ((((Subscript[w, 1])-(Subscript[w, 2])))^2)=90000」--(2)

「(Subscript[R, 1])(Subscript[～R, 4])が全て実数の時は,(Subscript[r, 1])(Subscript[～r, 4])が全て実数と仮定しても一般性を失わない」（補足3)故に

((Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]),(Subscript[R, 4]))の候補の8組から((Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4]))の候補が同じく8組定まり，その内(2)を満たすものは次の４組となる．(時間節約のため有効数字計算を使用しています)

realRoot[p_]:=Sign[p]Abs[p]^(1/5)(*実数に対し5乗根を求めるコマンド*)
rset=Select[realRoot/@Rset,(a1=#[[1]];a2=#[[2]];a3=#[[3]];a4=#[[4]];
w1=a1 a2^2+a3^2 a4;w2=a1^2 a3+a2 a4^2;N@Abs[w1+w2]<10^(-8)&&N@Abs[(w1-w2)^2-90000]<10^(-8))&]//Quiet

§3．x1,x2,x3,x4,x5 の値を求める

これらの４組の先頭の解を {r1, r2,r3,r4}とおくと， τ により r1→r3→r4→r2 と移るので{r1, r2,r3,r4},  {r3,r1,r4,r2}, {r4,r3,r2,r1} ,{r2,r4,r1,r3}, は{x2,x3,x4,x5}の順序を変えるだけ.　従って上の４つの{r1, r2,r3,r4}の値は同じ解集合を与える．(このことから §1の(R1,R2,R3,R4)の8組の解は実質2種類で，§2でその内の一つを選んだだけということも分かる．) 　故に{r1, r2,r3,r4}として先頭の解を選んでよい．これから方程式の解 x1,x2..は次の様に求まる.

{$r1,$r2,$r3,$r4}=rset[[1]];
ζ=Cos[2Pi/5]+I Sin[2Pi/5];
x1=1/5($r1+$r2+ $r3+ $r4)//Simplify(*定義の塗替えをしている*)
x2=1/5(ζ^4$r1+ζ^3 $r2+ζ ^2 $r3+ζ $r4)//Simplify
x3=1/5(ζ^3$r1+ζ $r2+ζ^4 $r3+ζ^2$r4)//Simplify
x4=1/5(ζ^2$r1+ζ^4 $r2+ζ $r3+ζ^3 $r4)//Simplify
x5=1/5(ζ$r1+ζ^2 $r2+ζ ^3 $r3+ζ^4 $r4)//Simplify

x1~x5の近似値と Nsolveで解いた解を比べる

N@{x1,x2,x3,x4,x5}//Sort
x/.NSolve[f==0,x]//Sort

見た限りは一致している．また少し時間は掛るが，厳密に計算しても f (x1)=0 が確かめられる. (Simplifyを2回使う) 実数解x1と虚数解x2を累乗根を使って表してみる．

x1//TraditionalForm//Print
x2//TraditionalForm//Print

§4．補足

[補足１]「Gal=(Subscript[F, 20])のとき  (Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]) ,(Subscript[R, 4]) は全て実数となる」と予想していたのだが，これは誤りと分かった．

Gal= (Subscript[F, 20])のとき，圧倒的多数は (Subscript[R, 1])~  (Subscript[R, 4]) は実数で，f=0は実数解を一個しか持たないが，f1 = (x^5)-10 (x^4)-10(x^3)+10(x^2)+10x+2 と f2= (x^5)-10 (x^4)+10(x^3)+10(x^2)-10x+2  は Gal= (Subscript[F, 20])で実数解を５個持つ．これは非常に珍しいので，余り確認もせずに予想していた．実際 f= (x^5) +a (x^4)+ b (x^3) +c (x^2) + dx +e (a,b,c,d整数，-10≦a,b,c≦10, 1≦d≦10) で既約かつ Gal=(Subscript[F, 20]) となるのは 238個あるが，このうち 234個は実数解を1個持ち，残り4個だけが実数解を5個持つ．

[補足2](Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]) ,(Subscript[R, 4])  が 全て実数のとき，(Subscript[r, 1]) , (Subscript[r, 2]), (Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 4])  を実数としても一般性を失わない

ガロア群が (Subscript[D, 5])のときの，[補足3] の証明と殆ど同じにできる．

[補足3](Subscript[R, 1]),(Subscript[R, 2]),(Subscript[R, 3]) ,(Subscript[R, 4])  が 全て実数のとき，実数解は1個だけ

ガロア群が(Subscript[D, 5])のときの，[補足4] の証明と同じ

他の5次方程式については (HyperlinkURL["https://mixedmoss.com/Mathematica/Galois", https://mixedmoss.com/mathematica/Galois/index.shtml]) にお越しください.