(x^7)-2(x^5)+(x^4) +4(x^3)-(x^2)-4 x +3 の厳密解  
with Mathematica 14

(Subscript[R, k]) の係数を使って Gal= (Subscript[F, 42])の方程式を解く       
                                                                                             2025 年5月  by  　(HyperlinkURL["mixedmoss", https://mixedmoss.com])

注【計算量が多いので，ノートブックの評価には20秒ほどかかります】

§0.  [準備]  原始元, 分解方程式, ガロア群

SageMathを使って求めました．詳しくは  (HyperlinkURL["sagemath.shtml", https://mixedmoss.com/mathematica/Galois/sagemath.shtml]) をご参照ください .

Galois群は (Subscript[フロベニウス群F, 42])=(Subscript[C, 7]) (Subscript[C, 6])=<σ,τ>,但し σ=(1,2,3,4,5,6,7),τ=(1,3,2,6,4,5),分解列は　(Subscript[F, 42])⊳(Subscript[F, 21])⊳(Subscript[C, 7])⊳{id},(Subscript[但しF, 21])=<σ,(τ^2)>.  或いは　(Subscript[F, 42])⊳(Subscript[D, 7])⊳(Subscript[C, 7])⊳{id},但し (Subscript[D, 7])=<σ,(τ^3)>

ClearAll["`*"];

f[x_]=x^7-2x^5+x^4+4x^3-x^2-4x+3;

f(x) = 0 の解をx1~x7, 原始元の1つをv, vの最小多項式をV (x)とする．

V[x_]=x^42-28*x^40+396*x^38-3569*x^36+21260*x^34-72675*x^32+10544*x^30+1246661*x^28-5902845*x^26+7569068*x^24+36867012*x^22-157414881*x^20+22205417*x^18+848975725*x^16-503974224*x^14-3040667773*x^12+404109589*x^10+6330002991*x^8+7362768751*x^6+3706246726*x^4+873281136*x^2+127353499;

まずはvを使ってx1~x7を表し，その集合をsols={$x1,$x2...$x7} と置く．(出力は長いのでフォントは小さくしています)

sols={$x1,$x2,$x3,$x4,$x5,$x6,$x7}={(96632638432453628071050796796660223873313711316/62609452658981321494654745708976627407962995501)+(v/2)+((3637017704098182974627003435602279693868195305399 (v^2))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((5011928958072860605104979990835090507297547003227 (v^4))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((1376615098014096136938460630402520413819930988119 (v^6))/292177445741912833641722146641890927903827312338)+((240670522744669421572142229851572198924328653252 (v^8))/70339014715645682173007183450825593754625093711)-((321815802559772789751607027647991936332144442343 (v^10))/125218905317962642989309491417953254815925991002)-((45566706873078835901734848929076638452747688724532 (v^12))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)+((24506886629878134026012747229041119152076506918488 (v^14))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)+((6665510819287368992592916284378586018031708720209 (v^16))/21161994998735686665193304049634100063891492479338)-((13782094473610302613153541442338082951083948881183 (v^18))/49377988330383268885451042782479566815746815785122)+((22831089135151560353745064161417834647761128928273 (v^20))/641913848294982495510863556172234368604708605206586)+((1577717078663024528335174561058513334734442255241 (v^22))/71323760921664721723429284019137152067189845022954)-((270680287253828846123927649788599297302178483889791 (v^24))/25034640083504317324923678690717140375583635603056854)+((22200136102960279235874120467635354497835586418433 (v^26))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)+((1966735258194424748954054506479683118080722563827 (v^28))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)-((1238922646515362369789518418621953873382476290253 (v^30))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)+((321536629370674449080807747790435100057582471955 (v^32))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)-((153039971025005331660994874269660265473688335789 (v^34))/25034640083504317324923678690717140375583635603056854)+((2720579755772758196222763279229524636919622656 (v^36))/4172440013917386220820613115119523395930605933842809)-((372108843164451880965088833131335627617449911 (v^38))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)+((19299124153388721784979223864064323408935722 (v^40))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427),-(88241033276128162996093511842393324406337916420/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((827201936611387419702597540657036572443629638032 (v^2))/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((29975346986835504500518510615126088217584697791297 (v^4))/813922884566757179430511694216696156303518941513)-((70277972325846639061647195248910565060491883530157 (v^6))/1899153397322433418671193953172291031374877530197)-((1926754541342822399506044786570961456182049757392 (v^8))/211017044146937046519021550352476781263875281133)+((100254295056986395896712880824527497685097738156994 (v^10))/5697460191967300256013581859516873094124632590591)+((10474992905716634957015163812916218183952303668147 (v^12))/1899153397322433418671193953172291031374877530197)-((131223078764485655637458742083130155534080857895702 (v^14))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)-((90282172472086282646716765586197154444226953214913 (v^16))/137552967491781963323756476322621650415294701115697)+((367430753920217427452300911303599711593797994562727 (v^18))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((68711002191812459345625738364226615213809888606810 (v^20))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((2513157577164488573825669024791521170943852438523 (v^22))/35661880460832360861714642009568576033594922511477)+((542526321836043091266409368775927169946056058706348 (v^24))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)-((102926763075204167680376625240237378908442646170818 (v^26))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)-((53256571004991995940131510646791012033971012018447 (v^28))/162725160542778062612003911489661412441293631419869551)+((30386283172849669931095948674643646995016180368909 (v^30))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)-((8400691503632549339556119511344124718138324811507 (v^32))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)+((4122981123186925834204362434020505346464931187354 (v^34))/162725160542778062612003911489661412441293631419869551)-((149786196759253697556216809628657522169451451134 (v^36))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)+((10431838957202624878839744576476004701395942156 (v^38))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)-((1101163842121353171371676670108916397406672160 (v^40))/162725160542778062612003911489661412441293631419869551),(96632638432453628071050796796660223873313711316/62609452658981321494654745708976627407962995501)-(v/2)+((3637017704098182974627003435602279693868195305399 (v^2))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((5011928958072860605104979990835090507297547003227 (v^4))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((1376615098014096136938460630402520413819930988119 (v^6))/292177445741912833641722146641890927903827312338)+((240670522744669421572142229851572198924328653252 (v^8))/70339014715645682173007183450825593754625093711)-((321815802559772789751607027647991936332144442343 (v^10))/125218905317962642989309491417953254815925991002)-((45566706873078835901734848929076638452747688724532 (v^12))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)+((24506886629878134026012747229041119152076506918488 (v^14))/24688994165191634442725521391239783407873407892561)+((6665510819287368992592916284378586018031708720209 (v^16))/21161994998735686665193304049634100063891492479338)-((13782094473610302613153541442338082951083948881183 (v^18))/49377988330383268885451042782479566815746815785122)+((22831089135151560353745064161417834647761128928273 (v^20))/641913848294982495510863556172234368604708605206586)+((1577717078663024528335174561058513334734442255241 (v^22))/71323760921664721723429284019137152067189845022954)-((270680287253828846123927649788599297302178483889791 (v^24))/25034640083504317324923678690717140375583635603056854)+((22200136102960279235874120467635354497835586418433 (v^26))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)+((1966735258194424748954054506479683118080722563827 (v^28))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427)-((1238922646515362369789518418621953873382476290253 (v^30))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)+((321536629370674449080807747790435100057582471955 (v^32))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)-((153039971025005331660994874269660265473688335789 (v^34))/25034640083504317324923678690717140375583635603056854)+((2720579755772758196222763279229524636919622656 (v^36))/4172440013917386220820613115119523395930605933842809)-((372108843164451880965088833131335627617449911 (v^38))/8344880027834772441641226230239046791861211867685618)+((19299124153388721784979223864064323408935722 (v^40))/12517320041752158662461839345358570187791817801528427),(51232076726535592539693229608250643509094987669/62609452658981321494654745708976627407962995501)+((118369706842537629691237106836655411020037991001 v)/41739635105987547663103163805984418271975330334)+((4521034244477742878475761118234091775535367947685 (v^2))/876532337225738500925166439925672783711481937014)+((2267782116600307917175515388154910323317811842280 (v^3))/146088722870956416820861073320945463951913656169)+((50074058430284865739383297269331841317556332198586 (v^4))/3067863180290084753238082539739854742990186779549)+((652619836555520191863100587015747063755273115564275 (v^5))/26588147562514067861396715344412074439248285422758)+((218548875672032974923105707620828368409511151042779 (v^6))/13294073781257033930698357672206037219624142711379)+((4786669672508467974962706573041071136854729361332 (v^7))/340873686698898305915342504415539415887798531061)+((7409024595306685097523365054508816364253435980699 (v^8))/2954238618057118651266301704934674937694253935862)-((27046846608650996715154299123172993476801593561366 (v^9))/4431357927085677976899452557402012406541380903793)-((606364389221964438617207519649966389218905968457977 (v^10))/79764442687542203584190146033236223317744856268274)-((2361654920514656224511692713685896097713376226114501 (v^11))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((304143935131466726452959645611401720337024851192447 (v^12))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)+((26897140856140745443445924850404276930594864679193 (v^13))/19202551017371271233230961082075387095012650583103)+((373935027752140805340080281416135607206106156332104 (v^14))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)+((173675823646315297428036901487558339795074307613581 (v^15))/115215306104227627399385766492452322570075903498618)+((86000491925025361484128606585971079824977789107907 (v^16))/518468877469024323297235949216035451565341565743781)-((1985557564253454143841313305653747926003888672611611 (v^17))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((1948832486639910979876523896350125788335495340653241 (v^18))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((100861697423546965582808105655745835420484480173765 (v^19))/748899489677479578096007482200940096705493372741017)+((28787874908608959142994602174257656221981519003166 (v^20))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)+((2484098277488684167776872439376482375999932614879 (v^21))/30567326109284880738612550293915922314509933581266)+((2025067058009085173355344779640795776585795725605 (v^22))/83211054408608842010667498022326677411721485860113)-((47854316887612640578924437346397072123096298456695 (v^23))/6490462243871489676832064845741480838114275897088814)-((1435890832156916893045687617953990174579838627441092 (v^24))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)-((141319342739124588412695304947358159876050506822456 (v^25))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((21910692504062901037117032143351306134839165108649 (v^26))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((54624585236277236905181916369771636852387723859918 (v^27))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((15134589278274004309660585062268415914574896840393 (v^28))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((82234510350145884918558677910991141953166060320682 (v^29))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)-((6075883090121932734618739451043402466778348020592 (v^30))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)-((9294331922513437750654225423118168689447079276009 (v^31))/253128027510988097396450528983917752686456759986463746)+((3434625279960877920644980706954304547140893683241 (v^32))/58414160194843407091488583611673327543028483073799326)+((177378002284448288270571475675298871699944119621 (v^33))/9375112130036596199868538110515472321720620740239398)-((65505587152585247245890177540595025481092401157 (v^34))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)-((2872032655660774541933235757011080773023873761845 (v^35))/759384082532964292189351586951753258059370279959391238)+((31159731172422683751836991618573032630350331941 (v^36))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((19638934359829519971646697575360754952942941872 (v^37))/42188004585164682899408421497319625447742793331077291)-((89111499804706185823291165775440133449903219 (v^38))/1192125718262110348805889461462720970265887409669374)-((1288445754125719819995901147839297283392038789 (v^39))/36161146787284013913778646997702536098065251426637678)+((463590092677173147225979672677982736237921771 (v^40))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)+((5039624589011689115944760045941240123592935 (v^41))/3686330497732836369851221295882297369220244077472773),-(103744198520925139112697270483714205179239740775/62609452658981321494654745708976627407962995501)+((2946473470916063355182436215680337836653064387 v)/1715327470109077301223417690656893901588027274)-((169117028021158136798898697802651104449868270490 (v^2))/62609452658981321494654745708976627407962995501)+((3079821519870508742823591722468448475686037879892 (v^3))/438266168612869250462583219962836391855740968507)-((144609526008548551881555944013721393879445611341670 (v^4))/39882221343771101792095073016618111658872428134137)+((1266281930426279961432726750106305838234883574378989 (v^5))/79764442687542203584190146033236223317744856268274)-((35211959491211112438040482932956069526596418646644 (v^6))/13294073781257033930698357672206037219624142711379)+((17495094062130810447943886382786012602122436579255 (v^7))/1022621060096694917746027513246618247663395593183)-((447767195687004889667891689142013169533432346171 (v^8))/328248735339679850140700189437186104188250437318)+((29969535131228242752090842106104401444417273928752 (v^9))/4431357927085677976899452557402012406541380903793)+((54790495026817467205995515245022384433398905565755 (v^10))/39882221343771101792095073016618111658872428134137)-((8637429237311416017223334511707984992638009734703155 (v^11))/1036937754938048646594471898432070903130683131487562)+((292997412065823374441827269254500524272857710726965 (v^12))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((1257974636010987044215894776752581174337038037901743 (v^13))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((86202458485587948791063914728467896901358702126563 (v^14))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)+((937057183599568912356161343959395687905762684238243 (v^15))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((1029058365402242798589954965330373400584250132023989 (v^16))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((3481744270649927997745062944250461190852242319898760 (v^17))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((630987806296926525507389788477693355727548726901805 (v^18))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((2886293540695871757609670588434371016013359348022501 (v^19))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((11695836760557019294108530145706531877914278327795 (v^20))/641913848294982495510863556172234368604708605206586)+((33503685139373586506705203496244135433946752978175 (v^21))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((933719809757377120283101238618953301008150511776 (v^22))/83211054408608842010667498022326677411721485860113)+((285509658132130943523483897764494428305121616912451 (v^23))/6490462243871489676832064845741480838114275897088814)+((74527647864487236161077169461283480050194940858945 (v^24))/13480190814194632405728134679616921740698880709338306)-((4281930517992655204598566032921897585481955956295731 (v^25))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((79996284510325081252322072796183635058208989743605 (v^26))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)+((383238182461092841423418439322960861801297287608239 (v^27))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)-((90949740287001694377152475730627325071184040706247 (v^28))/1139076123799446438284027380427629887089055419939086857)+((44496787411600803857789698432737956896878439073713 (v^29))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)+((29005469483060268616630880549610368824464564183026 (v^30))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)-((258440829145137530404605903464123768026424713777 (v^31))/800193975271827494403953200159908596479842233887662)-((15105121386794942457845417659926680191103349149489 (v^32))/759384082532964292189351586951753258059370279959391238)+((5076489751874750855365658117271757568304642639599 (v^33))/58414160194843407091488583611673327543028483073799326)+((7206657958540817910830876529116665345460351836387 (v^34))/2278152247598892876568054760855259774178110839878173714)-((2459062329592409364434257504888710895263653600449 (v^35))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((128397574359427943183393515751034838561159897960 (v^36))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)+((44253473030732828961465804411387476590023299302 (v^37))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((1257361243081756241812953169898205300786049808 (v^38))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)-((436768524450988420940093322243348554008744403 (v^39))/4172440013917386220820613115119523395930605933842809)-((1830964905870526079202217797311067649672579307 (v^40))/2278152247598892876568054760855259774178110839878173714)+((320157006089788566467589826145131200974383336 (v^41))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989),-(103744198520925139112697270483714205179239740775/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((2946473470916063355182436215680337836653064387 v)/1715327470109077301223417690656893901588027274)-((169117028021158136798898697802651104449868270490 (v^2))/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((3079821519870508742823591722468448475686037879892 (v^3))/438266168612869250462583219962836391855740968507)-((144609526008548551881555944013721393879445611341670 (v^4))/39882221343771101792095073016618111658872428134137)-((1266281930426279961432726750106305838234883574378989 (v^5))/79764442687542203584190146033236223317744856268274)-((35211959491211112438040482932956069526596418646644 (v^6))/13294073781257033930698357672206037219624142711379)-((17495094062130810447943886382786012602122436579255 (v^7))/1022621060096694917746027513246618247663395593183)-((447767195687004889667891689142013169533432346171 (v^8))/328248735339679850140700189437186104188250437318)-((29969535131228242752090842106104401444417273928752 (v^9))/4431357927085677976899452557402012406541380903793)+((54790495026817467205995515245022384433398905565755 (v^10))/39882221343771101792095073016618111658872428134137)+((8637429237311416017223334511707984992638009734703155 (v^11))/1036937754938048646594471898432070903130683131487562)+((292997412065823374441827269254500524272857710726965 (v^12))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)+((1257974636010987044215894776752581174337038037901743 (v^13))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((86202458485587948791063914728467896901358702126563 (v^14))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)-((937057183599568912356161343959395687905762684238243 (v^15))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((1029058365402242798589954965330373400584250132023989 (v^16))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)-((3481744270649927997745062944250461190852242319898760 (v^17))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((630987806296926525507389788477693355727548726901805 (v^18))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)+((2886293540695871757609670588434371016013359348022501 (v^19))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((11695836760557019294108530145706531877914278327795 (v^20))/641913848294982495510863556172234368604708605206586)-((33503685139373586506705203496244135433946752978175 (v^21))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((933719809757377120283101238618953301008150511776 (v^22))/83211054408608842010667498022326677411721485860113)-((285509658132130943523483897764494428305121616912451 (v^23))/6490462243871489676832064845741480838114275897088814)+((74527647864487236161077169461283480050194940858945 (v^24))/13480190814194632405728134679616921740698880709338306)+((4281930517992655204598566032921897585481955956295731 (v^25))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((79996284510325081252322072796183635058208989743605 (v^26))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)-((383238182461092841423418439322960861801297287608239 (v^27))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)-((90949740287001694377152475730627325071184040706247 (v^28))/1139076123799446438284027380427629887089055419939086857)-((44496787411600803857789698432737956896878439073713 (v^29))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)+((29005469483060268616630880549610368824464564183026 (v^30))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)+((258440829145137530404605903464123768026424713777 (v^31))/800193975271827494403953200159908596479842233887662)-((15105121386794942457845417659926680191103349149489 (v^32))/759384082532964292189351586951753258059370279959391238)-((5076489751874750855365658117271757568304642639599 (v^33))/58414160194843407091488583611673327543028483073799326)+((7206657958540817910830876529116665345460351836387 (v^34))/2278152247598892876568054760855259774178110839878173714)+((2459062329592409364434257504888710895263653600449 (v^35))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((128397574359427943183393515751034838561159897960 (v^36))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)-((44253473030732828961465804411387476590023299302 (v^37))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((1257361243081756241812953169898205300786049808 (v^38))/54241720180926020870667970496553804147097877139956517)+((436768524450988420940093322243348554008744403 (v^39))/4172440013917386220820613115119523395930605933842809)-((1830964905870526079202217797311067649672579307 (v^40))/2278152247598892876568054760855259774178110839878173714)-((320157006089788566467589826145131200974383336 (v^41))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989),(51232076726535592539693229608250643509094987669/62609452658981321494654745708976627407962995501)-((118369706842537629691237106836655411020037991001 v)/41739635105987547663103163805984418271975330334)+((4521034244477742878475761118234091775535367947685 (v^2))/876532337225738500925166439925672783711481937014)-((2267782116600307917175515388154910323317811842280 (v^3))/146088722870956416820861073320945463951913656169)+((50074058430284865739383297269331841317556332198586 (v^4))/3067863180290084753238082539739854742990186779549)-((652619836555520191863100587015747063755273115564275 (v^5))/26588147562514067861396715344412074439248285422758)+((218548875672032974923105707620828368409511151042779 (v^6))/13294073781257033930698357672206037219624142711379)-((4786669672508467974962706573041071136854729361332 (v^7))/340873686698898305915342504415539415887798531061)+((7409024595306685097523365054508816364253435980699 (v^8))/2954238618057118651266301704934674937694253935862)+((27046846608650996715154299123172993476801593561366 (v^9))/4431357927085677976899452557402012406541380903793)-((606364389221964438617207519649966389218905968457977 (v^10))/79764442687542203584190146033236223317744856268274)+((2361654920514656224511692713685896097713376226114501 (v^11))/345645918312682882198157299477356967710227710495854)-((304143935131466726452959645611401720337024851192447 (v^12))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)-((26897140856140745443445924850404276930594864679193 (v^13))/19202551017371271233230961082075387095012650583103)+((373935027752140805340080281416135607206106156332104 (v^14))/172822959156341441099078649738678483855113855247927)-((173675823646315297428036901487558339795074307613581 (v^15))/115215306104227627399385766492452322570075903498618)+((86000491925025361484128606585971079824977789107907 (v^16))/518468877469024323297235949216035451565341565743781)+((1985557564253454143841313305653747926003888672611611 (v^17))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)-((1948832486639910979876523896350125788335495340653241 (v^18))/4493396938064877468576044893205640580232960236446102)+((100861697423546965582808105655745835420484480173765 (v^19))/748899489677479578096007482200940096705493372741017)+((28787874908608959142994602174257656221981519003166 (v^20))/320956924147491247755431778086117184302354302603293)-((2484098277488684167776872439376482375999932614879 (v^21))/30567326109284880738612550293915922314509933581266)+((2025067058009085173355344779640795776585795725605 (v^22))/83211054408608842010667498022326677411721485860113)+((47854316887612640578924437346397072123096298456695 (v^23))/6490462243871489676832064845741480838114275897088814)-((1435890832156916893045687617953990174579838627441092 (v^24))/87621240292265110637232875417509991314542724610698989)+((141319342739124588412695304947358159876050506822456 (v^25))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((21910692504062901037117032143351306134839165108649 (v^26))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)-((54624585236277236905181916369771636852387723859918 (v^27))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((15134589278274004309660585062268415914574896840393 (v^28))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)+((82234510350145884918558677910991141953166060320682 (v^29))/379692041266482146094675793475876629029685139979695619)-((6075883090121932734618739451043402466778348020592 (v^30))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)+((9294331922513437750654225423118168689447079276009 (v^31))/253128027510988097396450528983917752686456759986463746)+((3434625279960877920644980706954304547140893683241 (v^32))/58414160194843407091488583611673327543028483073799326)-((177378002284448288270571475675298871699944119621 (v^33))/9375112130036596199868538110515472321720620740239398)-((65505587152585247245890177540595025481092401157 (v^34))/6740095407097316202864067339808460870349440354669153)+((2872032655660774541933235757011080773023873761845 (v^35))/759384082532964292189351586951753258059370279959391238)+((31159731172422683751836991618573032630350331941 (v^36))/29207080097421703545744291805836663771514241536899663)-((19638934359829519971646697575360754952942941872 (v^37))/42188004585164682899408421497319625447742793331077291)-((89111499804706185823291165775440133449903219 (v^38))/1192125718262110348805889461462720970265887409669374)+((1288445754125719819995901147839297283392038789 (v^39))/36161146787284013913778646997702536098065251426637678)+((463590092677173147225979672677982736237921771 (v^40))/175242480584530221274465750835019982629085449221397978)-((5039624589011689115944760045941240123592935 (v^41))/3686330497732836369851221295882297369220244077472773)};

今回は 参考文献[1] 「可解な５次方程式について」を 「参考」にして，Gal= (Subscript[F, 42])の方程式を解いてみたいと思います．しかし，5次方程式の場合(Another_F20.nb)とは異なり，一筋縄では行きません．

§１.6次の補助方程式 h(x) を作る

1-1. 補助方程式の定義

(Subscript[C, 7]) ⊳{Id}の部分に注目し，ラグランジュの7次分解式をつくる .(ζは1の原始7乗根のひとつ．) このとき(Subscript[x, k]) (1≦k≦7)を自由変数，すなわち f=0の解となっていることは忘れるものとする．

Clear[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,ζ]
r0=x1+ x2+  x3 + x4 + x5+x6+x7;
r1=x1+ζ x2+ ζ^2 x3 +ζ^3 x4 +ζ^4 x5+ζ^5 x6+ζ^6 x7;
r2=x1+ζ^2 x2+ ζ^4 x3 +ζ^6 x4 +ζ x5+ζ^3 x6+ζ^5 x7;
r3=x1+ζ^3 x2+ ζ^6 x3 +ζ^2 x4 +ζ^5 x5+ζ x6+ζ^4 x7;
r4=x1+ζ^4 x2+ ζ x3 +ζ^5 x4 +ζ^2 x5+ζ^6 x6+ζ^3 x7;
r5=x1+ζ^5 x2+ ζ^3 x3 +ζ x4 +ζ^6 x5+ζ^4 x6+ζ^2 x7;
r6=x1+ζ^6 x2+ ζ^5 x3 +ζ^4 x4 +ζ^3 x5+ζ^2 x6+ζ x7;

解と係数の関係より r0 = 0. またσ=(1,2,3,4,5,6,7),τ=(1,3,2,6,4,5)とおくと, (Subscript[F, 42])=<σ,τ>

(#)({{{, ({{r1をσで移すと r1(Overscript[→, σ])(ζ^6)r1,, τで移すと r1(Overscript[→, τ])(ζ^4)r5}, {r2をσで移すと r2(Overscript[→, σ])(ζ^5)r2,, τで移すと r2(Overscript[→, τ])ζ r3}, {r3をσで移すと r3(Overscript[→, σ])(ζ^4)r3,, τで移すと r3(Overscript[→, τ])(ζ^5)r1}, {r4をσで移すと r4(Overscript[→, σ])(ζ^3)r4,
r5をσで移すと r5(Overscript[→, σ])(ζ^2)r5, 
r6をσで移すと r6(Overscript[→, σ])ζ r6,, τで移すと r4(Overscript[→, τ])(ζ^2)r6
τで移すと r5(Overscript[→, τ])(ζ^6)r4
τで移すと r6(Overscript[→, τ])(ζ^3)r2}})}})

即ち, σは 分解式を「r1→(ζ^6)r1→(ζ^5)r1→(ζ^4)r1→(ζ^3)r1→→(ζ^2)r1→ζ r1→r1」 のように移し、τ は「 r1→(ζ^4)r5→(ζ^3)r4→(ζ^5)r6→ζr2→(ζ^2)r3→r1」 のように移す.  

さらにfの最小分解体K内の 同型写像 ω: ζ→(ζ^4) とすると，分解式は次のように移る.　ωは, (Subscript[r, k]) についてはτと同様に働く．                
                            (by ω) r1→r5→r4→r6 →r2→r3 →r1⋯        

(Subscript[R, 1])= ((Subscript[r, 1])^7),(Subscript[R, 2])= ((Subscript[r, 2])^7),(Subscript[R, 3])= ((Subscript[r, 3])^7),(Subscript[R, 4])= ((Subscript[r, 4])^7) ,(Subscript[R, 5])= ((Subscript[r, 5])^7),(Subscript[R, 6])= ((Subscript[r, 6])^7) と定義し， ((Subscript[r, 1])^7)を展開し,ζについて整理した式を
(Subscript[R, 1])=((Subscript[r, 1])^7)= (Subscript[l, 0])+(Subscript[l, 1])ζ+(Subscript[l, 2])(ζ^2)+(Subscript[l, 3])(ζ^3)+(Subscript[l, 4])(ζ^4)+(Subscript[l, 5])(ζ^5)+(Subscript[l, 6])(ζ^6)   ((Subscript[l, i])は ζを含まない(Subscript[x, j])のみの式)とおく． これを ω で移すと次の式が得られる．
(#2)({{{, ({{(Subscript[R, 1])=((Subscript[r, 1])^7), =(Subscript[l, 0])+(Subscript[l, 1])ζ+(Subscript[l, 2])(ζ^2)+(Subscript[l, 3])(ζ^3)+(Subscript[l, 4])(ζ^4)+(Subscript[l, 5])(ζ^5)+(Subscript[l, 6])(ζ^6)}, {(Subscript[R, 2])=((Subscript[r, 2])^7), =(Subscript[l, 0])+(Subscript[l, 4])ζ+(Subscript[l, 1])(ζ^2)+(Subscript[l, 5])(ζ^3)+(Subscript[l, 2])(ζ^4)+(Subscript[l, 6])(ζ^5)+(Subscript[l, 3])(ζ^6)}, {(Subscript[R, 3])=((Subscript[r, 3])^7), =(Subscript[l, 0])+(Subscript[l, 5])ζ+(Subscript[l, 3])(ζ^2)+(Subscript[l, 1])(ζ^3)+(Subscript[l, 6])(ζ^4)+(Subscript[l, 4])(ζ^5)+(Subscript[l, 2])(ζ^6)}, {(Subscript[R, 4])=((Subscript[r, 4])^7), =(Subscript[l, 0])+(Subscript[l, 2])ζ+(Subscript[l, 4])(ζ^2)+(Subscript[l, 6])(ζ^3)+(Subscript[l, 1])(ζ^4)+(Subscript[l, 3])(ζ^5)  +(Subscript[l, 5])(ζ^6)}, {(Subscript[R, 5])=((Subscript[r, 5])^7), =(Subscript[l, 0])+(Subscript[l, 3])ζ+(Subscript[l, 6])(ζ^2)+(Subscript[l, 2])(ζ^3)+(Subscript[l, 5])(ζ^4)+(Subscript[l, 1])(ζ^5)+(Subscript[l, 4])(ζ^6)}, {(Subscript[R, 6])=((Subscript[r, 6])^7), =(Subscript[l, 0])+(Subscript[l, 6])ζ+(Subscript[l, 5])(ζ^2)+(Subscript[l, 4])(ζ^3)+(Subscript[l, 3])(ζ^4)+(Subscript[l, 2])(ζ^5)+(Subscript[l, 1])(ζ^6)}})}})

(#1)より，σで (Subscript[R, 1])~(Subscript[R, 6])は動かない．よってσで  (Subscript[l, 0])~(Subscript[l, 6])も動かない．次に τによって 「 (Subscript[R, 1])→(Subscript[R, 5])→(Subscript[R, 4])→(Subscript[R, 6])→(Subscript[R, 2])→(Subscript[R, 3])→(Subscript[R, 1]) 」と動くから，「(Subscript[l, 1])→(Subscript[l, 3])→(Subscript[l, 2])→(Subscript[l, 6])→(Subscript[l, 4])→(Subscript[l, 5])→(Subscript[l, 1])  」と動く．また (Subscript[l, 0]) は動かない．

次に h(x)=(x-(Subscript[l, 1]))(x-(Subscript[l, 2]))(x-(Subscript[l, 3]))(x-(Subscript[l, 4]))(x-(Subscript[l, 5]))(x-(Subscript[l, 6]))と定義すると，(Subscript[l, i])(1≦i≦6)は τによって動くので有理数でない．

また σ,τ によって h(x)の係数は不変なので，h(x)の係数は (Subscript[F, 42])=<σ,τ>の固定体Q(ζ)に入る． しかし，(Subscript[l, i])(1≦i≦6)は ζ を含んでないから
h(x)の係数は有理数となる．

まとめると「 h(x)は Q上既約な 有理数係数の6次式 」となる．同様に (Subscript[l, 0]) も σとτによって動かず ζ を含んでないから 有理数となる．

1-2. 補助方程式h(x)の式を求める

以上を Mathematica で実行しましょう．解くだけなら不要ですが，先ず (Subscript[l, i])(0≦i≦6)を (Subscript[x, 1])~(Subscript[x, 7]) の式で見てみましょう．

r1^7//PolynomialMod[#,ζ^7-1]&//Collect[#,ζ]&

全てが長いので (Subscript[l, 0 ])だけ出力します．

{l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}=CoefficientList[%,ζ];l0

この後は (Subscript[F, 42])の固定体が Q(ζ)であることを使うので，x1~x7 に 原始元v による表現 $x1~$x7 を代入して，h(x)の式を求めます．((Subscript[l, 0]) のみ出力します)

rule={x1->$x1,x2->$x2,x3->$x3,x4->$x4,x5->$x5,x6->$x6,x7->$x7};
l0=l0/.rule//Expand//PolynomialMod[#,V[v]]&
l1=l1/.rule//Expand//PolynomialMod[#,V[v]]&;
l2=l2/.rule//Expand//PolynomialMod[#,V[v]]&;
l3=l3/.rule//Expand//PolynomialMod[#,V[v]]&;
l4=l4/.rule//Expand//PolynomialMod[#,V[v]]&;
l5=l5/.rule//Expand//PolynomialMod[#,V[v]]&;
l6=l6/.rule//Expand//PolynomialMod[#,V[v]]&;

(Subscript[l, 0])は確かに有理数です． それでは h(x) を「単純計算」で求めましょう．

h[x_]=(x-l1)(x-l2)(x-l3)(x-l4)(x-l5)(x-l6)//Expand//PolynomialMod[#,V[v]]&
IrreduciblePolynomialQ[%]

確かに有理数係数で既約な6次式です．因みに

「(Subscript[l, 0])+(Subscript[l, 1])+(Subscript[l, 2])+(Subscript[l, 3])+(Subscript[l, 4])+(Subscript[l, 5])+(Subscript[l, 6])= ((((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 4])+(Subscript[x, 5])+(Subscript[x, 6])+(Subscript[x, 7])))^7) =0」

が成り立つので，(x^5) の係数は(Subscript[l, 0])と等しいです．また Magma を使って求めると Galois群は(Subscript[C, 6])です．

§2. h(x) を解いて (Subscript[R, 1])~(Subscript[R, 6])の候補を求める

2-1. h(x)を解く

(#1) よりσで (Subscript[l, 1])~(Subscript[l, 6])は動かず, また τにより 「(Subscript[l, 1])→(Subscript[l, 3])→(Subscript[l, 2])→(Subscript[l, 6])→(Subscript[l, 4]) →(Subscript[l, 5])→(Subscript[l, 1])」 と動くので， (Subscript[F, 21])=<σ,  (τ^2)> によって (Subscript[l, 1])+(Subscript[l, 2])+(Subscript[l, 4]),  (Subscript[l, 3])+(Subscript[l, 5])+(Subscript[l, 6]),  (Subscript[l, 3])(Subscript[l, 5])+(Subscript[l, 5])(Subscript[l, 6])+(Subscript[l, 6])(Subscript[l, 3]),  (Subscript[l, 1])(Subscript[l, 2])(Subscript[l, 4]),(Subscript[l, 3])(Subscript[l, 5])(Subscript[l, 6]) は動きません．故にこれらは (Subscript[F, 21])の固定体Mに入ります．Mを求めるために判別式を考えると，

Discriminant[h[x],x]//Sqrt

よってh(x)はQ((Sqrt[91])i)で因数分解できます．

hx=Factor[h[x],Extension->Sqrt[-91]]

h(x) = h1*h2 (h1, h2 は3次式) と分けると

h1=-(List@@hx)[[2]]
h2=(List@@hx)[[3]]

h1 = 0 の解を {x11, x12,x13}, h2 = 0 の解を {x21,x22,x23} とおき，{l1,l2,l3,l4,l5,l6}={ x11, x12, x21, x13, x22, x23} と置きます .　(後で使うためにl1~l6を$l1~$l6とします. また$l1のみを表示しています)

{$l1,$l2,$l3,$l4,$l5,$l6}={x/.Solve[h1==0,x,Cubics->True],x/.Solve[h2==0,x,Cubics->True]}//Flatten[#,1][[{1,2,4,3,5,6}]]&; $l1

2-2. (Subscript[R, 1])~(Subscript[R, 6])とr1~r6の値を求める

もちろん，ここで，(Subscript[$l, 1])~(Subscript[$l, 6])が本来あるべき(Subscript[l, 1])~(Subscript[l, 6])と一致しているとは限りません．しかし {(Subscript[$l, 1]),(Subscript[$l, 2]), (Subscript[$l, 4])}と{(Subscript[$l, 3]), (Subscript[$l, 5]),(Subscript[$l, 6])}は同じ3次方程式の解であることから，正しい((Subscript[$l, 1]),(Subscript[$l, 2]),(Subscript[$l, 3]),(Subscript[$l, 4]),(Subscript[$l, 5]),(Subscript[$l, 6]))は,(Subscript[$l, i])=iと省略すると，(1,2,3,4,5,6),(1,2,3,4,6,5),(1,2,5,4,3,6),(1,2,5,4,6,3),...,(3,5,1,6,2,4),...(6,5,4,3,2,1)
などの 3!×3!×2!の72通りのいずれか．

ここで例えば(1,2,3,4,5,6)をτで移した (3,6,2,5,1,4),(2,4,6,1,3,5),(6,5,4,3,2,1),(4,1,5,2,6,3),(5,3,1,6,4,2)

は同じ (Subscript[R, 1])~(Subscript[R, 6])の集合を与えます．故に本質的に異なる ((Subscript[$l, 1]),(Subscript[$l, 2]),(Subscript[$l, 3]),(Subscript[$l, 4]),(Subscript[$l, 5]),(Subscript[$l, 6])) は　72通り/6通り=12通り　となります．これらに対し (Subscript[R, 1])~(Subscript[R, 6])を求め，さらに束縛条件{(Subscript[r, 1]) ((Subscript[r, 2])^2)+(Subscript[r, 4]) ((Subscript[r, 3])^2),(Subscript[r, 3]) ((Subscript[r, 1])^2)+(Subscript[r, 2]) ((Subscript[r, 4])^2)}={(7/2) (1-7 (Sqrt[13])),(7/2) (1+7 (Sqrt[13]))} (F42_Solutions.nb 補足参照)を満たす r1~r6を求めることも可能ですが，かなり大変なので，F42_Solutions.nb と同様に，数値計算を使って求めたいと思います．まずは　前節の$l1~$l6の近似値を求めます．

N[{$l1,$l2,$l3,$l4,$l5,$l6}]

l1~l6はvの式で表されているので，vの値を代入して，近似値を求めます．

vs=v/.NSolve[V[v]==0,v];
{l1,l2,l3,l4,l5,l6}/.{v->vs[[1]]}//N

直前の2つの結果から 「(l1, l2, l3, l4, l5, l6) = ($l6, $l3, $l1, $l5, $l4, $l2) 」 となります．したがって(#2)より，R1~R6 の値は次のようになります．(R1のみ表示しています)

ζ=Cos[2Pi/7]+I Sin[2Pi/7];
l1=$l6;l2=$l3;l3=$l1;l4=$l5;l5=$l4;l6=$l2;
R1=l0+l1 ζ+l2 ζ^2+l3 ζ^3+l4  ζ^4+l5  ζ^5+l6  ζ^6//Simplify
R2=l0+l4 ζ+l1 ζ^2+l5 ζ^3+l2  ζ^4+l6  ζ^5+l3  ζ^6//Simplify;
R3=l0+l5 ζ+l3 ζ^2+l1 ζ^3+l6  ζ^4+l4  ζ^5+l2  ζ^6//Simplify;
R4=l0+l2 ζ+l4 ζ^2+l6 ζ^3+l1  ζ^4+l3  ζ^5+l5  ζ^6//Simplify;
R5=l0+l3 ζ+l6 ζ^2+l2 ζ^3+l5  ζ^4+l1  ζ^5+l4  ζ^6//Simplify;
R6=l0+l6 ζ+l5 ζ^2+l4 ζ^3+l3  ζ^4+l2  ζ^5+l1  ζ^6//Simplify;

次にR1~R6の近似値を求めます．

N[{R1,R2,R3,R4,R5,R6}]

どうやら，R1~R6は全て実数としても良いようです．そして(D5_Solutions.nb)と同様にして

「(Subscript[R, 1])~(Subscript[R, 6]) が実数のときは  (Subscript[r, 1])~(Subscript[r, 6]) が全て実数としても一般性を失わない」 から,r1~r6の値は次のようになります．

real7thRoot[x_]:=If[Re[N[x]]>0,x^(1/7),-(-x)^(1/7)];
{r1,r2,r3,r4,r5,r6}=real7thRoot/@{R1,R2,R3,R4,R5,R6};

2-3. (Subscript[r, 1])~(Subscript[r, 6])を代入して，方程式の解 (Subscript[x, 1])~ (Subscript[x, 7]) を求める

r1~r6の定義式の逆変換を求めて，x1~x7をr1~r6の式で表すことができます．それに代入します．(x1のみ表示してます)

x1=1/7(r1+r2+r3+r4+r5+r6)
x2=1/7(ζ^6r1+ζ^5r2+ζ^4r3+ζ^3r4+ζ^2r5+ζ r6);
x3=1/7(ζ^5r1+ζ^3r2+ζ r3+ζ^6r4+ζ^4r5+ζ^2r6);
x4=1/7(ζ^4r1+ζ r2+ζ ^5r3+ζ^2r4+ζ^6r5+ζ^3 r6);
x5=1/7(ζ^3r1+ζ^6 r2+ζ ^2r3+ζ^5r4+ζ r5+ζ^4 r6);
x6=1/7(ζ^2r1+ζ^4 r2+ζ ^6 r3+ζ r4+ζ^3 r5+ζ^5 r6);
x7=1/7(ζ r1+ζ^2 r2+ζ ^3r3+ζ^4 r4+ζ^5 r5+ζ^6 r6);

x1単独とは信じられないほど長い式です．最後に，お約束の近似値比較です．上が 累乗根表現の，下が NSolve で求めた解です．ご覧のように一致しています．

N[{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}]//Sort//Chop

x/.NSolve[f[x]==0,x]//Sort

§4．補足

F42_Solutions . nb  で調べた  「R1, R2, ⋯, R6  を直接扱う方法」と，ここで調べた「(Subscript[l, 0]),(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2]),⋯,(Subscript[l, 6])  (ただしR1=(Subscript[l, 0])+(Subscript[l, 1])ζ+(Subscript[l, 2])  (ζ^2) + ⋯+(Subscript[l, 6])  (ζ^6)) を使う方法」を比較します．まとめると次の3つとなります．

({{{, ({{(a), {R1,R6}+{R2,R5}+{R3,R4}と分け,R1+R6,R1R6,⋯,R3+R4,R3R4に関する3次方程式を立て，次に2次方程式を解いてR1~R6を求める方法}, {(b), {R1,R2,R4}+{R3,R5,R6}と分け,R1+R2+R4, R1R2+R2R4+R4R1, R1R2R4,⋯,R3R5R6 に関する2次方程式を立て，次に3次方程式を解いてR1~R6を求める方法}, {(c), {l1,l2,l4}+{l3,l5,l6}と分け，それぞれに対する3次方程式を立てて l1~l6 を求める方法}})}})

(a), (b),(c)によるR1の値はそれぞれ次のようになります．((c)では  ζ = Cos[2 Pi/7] + I  Sin[2 Pi/7])

(a)の場合

R1a=-(2401/6) (145+39 (Sqrt[13]))+((1372 (7^(2/3)) (116506+32289 (Sqrt[13])))/(3 ((((1/2) (-43982153605-12198286674 (Sqrt[13])+3 i (Sqrt[3 (554388682885501321+153759755291383332 (Sqrt[13]))]))))^(1/3))))+(49/3) ((((7/2) (-43982153605-12198286674 (Sqrt[13])+3 i (Sqrt[3 (554388682885501321+153759755291383332 (Sqrt[13]))]))))^(1/3))

(b)の場合

R1b=(2401 (1670116+(7^(2/3)) (-1-i (Sqrt[3])) (((13 (914544806249111+136483676034 i (Sqrt[3]))))^(1/3))+i (7^(2/3)) (((13 (914544806249111-136483676034 i (Sqrt[3]))))^(1/3)) (i+(Sqrt[3]))))/(3 ((49/3) (-7105+((521143 (91^(2/3)))/(((-3581010217-136936446 i (Sqrt[3])))^(1/3)))+(((91 (-3581010217-136936446 i (Sqrt[3]))))^(1/3)))+√((2401/9) (((-7105+((521143 (91^(2/3)))/(((-3581010217-136936446 i (Sqrt[3])))^(1/3)))+(((91 (-3581010217-136936446 i (Sqrt[3]))))^(1/3))))^2)-(4802/3) (1670116+(7^(2/3)) (-1-i (Sqrt[3])) (((13 (914544806249111+136483676034 i (Sqrt[3]))))^(1/3))+i (7^(2/3)) (((13 (914544806249111-136483676034 i (Sqrt[3]))))^(1/3)) (i+(Sqrt[3]))))))

(c)の場合

R1c=(49/12)(-12180+i (-2030 i+546 (Sqrt[91])-((7 (-i+(Sqrt[3])) (35789 i+73629 (Sqrt[91])))/(((6212842012 i-((201901707 (Sqrt[91]))/2)+(3/2) (Sqrt[39 (-455168513200298139+3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3)))+(2^(2/3)) (1-i (Sqrt[3])) (((12425684024 i-201901707 (Sqrt[91])+3 (Sqrt[39 (-455168513200298139+3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3))) ζ+2 i (7 (-145 i+39 (Sqrt[91]))+((7 (35789-73629 i (Sqrt[91])))/(((6212842012 i-((201901707 (Sqrt[91]))/2)+(3/2) (Sqrt[39 (-455168513200298139+3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3)))-(2^(2/3)) (((12425684024 i-201901707 (Sqrt[91])+3 (Sqrt[39 (-455168513200298139+3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3))) (ζ^2)-2 i (7 (145 i+39 (Sqrt[91]))-((7 (35789+73629 i (Sqrt[91])))/(((6212842012 i+((201901707 (Sqrt[91]))/2)+(3/2) (Sqrt[39 (-455168513200298139-3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3)))+(2^(2/3)) (((12425684024 i+201901707 (Sqrt[91])+3 (Sqrt[39 (-455168513200298139-3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3))) (ζ^3)+i (-2030 i+546 (Sqrt[91])+((7 (i+(Sqrt[3])) (35789 i+73629 (Sqrt[91])))/(((6212842012 i-((201901707 (Sqrt[91]))/2)+(3/2) (Sqrt[39 (-455168513200298139+3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3)))+(2^(2/3)) (1+i (Sqrt[3])) (((12425684024 i-201901707 (Sqrt[91])+3 (Sqrt[39 (-455168513200298139+3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3))) (ζ^4)-i (2030 i+546 (Sqrt[91])+((7 (1+i (Sqrt[3])) (35789+73629 i (Sqrt[91])))/(((6212842012 i+((201901707 (Sqrt[91]))/2)+(3/2) (Sqrt[39 (-455168513200298139-3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3)))+i (2^(2/3)) (i+(Sqrt[3])) (((12425684024 i+201901707 (Sqrt[91])+3 (Sqrt[39 (-455168513200298139-3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3))) (ζ^5)-i (2030 i+546 (Sqrt[91])+((7 (i+(Sqrt[3])) (-35789 i+73629 (Sqrt[91])))/(((6212842012 i+((201901707 (Sqrt[91]))/2)+(3/2) (Sqrt[39 (-455168513200298139-3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3)))-(2^(2/3)) (1+i (Sqrt[3])) (((12425684024 i+201901707 (Sqrt[91])+3 (Sqrt[39 (-455168513200298139-3314618482457212 i (Sqrt[91]))])))^(1/3))) (ζ^6))

(Subscript[l, 1]),(Subscript[l, 2]),⋯を扱う方法は，5次方程式の時は非常にうまく行き，7次方程式でもかなり簡単に解くことができました．

しかし7次の時は　(Subscript[R, k])=(Subscript[a, k])+(Subscript[b, k])ζ+(Subscript[c, k])(ζ^2)+(Subscript[d, k])(ζ^3)+(Subscript[e, k])(ζ^4)+(Subscript[f, k]) (ζ^5)+(Subscript[g, k])(ζ^6)　の形となるので

(Subscript[x, k])=((((Subscript[a, 1])+(Subscript[b, 1])ζ+(Subscript[c, 1])(ζ^2)+(Subscript[d, 1])(ζ^3)+(Subscript[e, 1])(ζ^4)+(Subscript[f, 1]) (ζ^5)+(Subscript[g, 1])(ζ^6)))^(1/7))+((((Subscript[a, 2])+(Subscript[b, 2])ζ+(Subscript[c, 2])(ζ^2)+(Subscript[d, 2])(ζ^3)+(Subscript[e, 2])(ζ^4)+(Subscript[f, 2]) (ζ^5)+(Subscript[g, 2])(ζ^6)))^(1/7))ζ+⋯+((((Subscript[a, 7])+(Subscript[b, 7])ζ+(Subscript[c, 7])(ζ^2)+(Subscript[d, 7])(ζ^3)+(Subscript[e, 7])(ζ^4)+(Subscript[f, 7]) (ζ^5)+(Subscript[g, 7])(ζ^6)))^(1/7))(ζ^6)

という非常に長い形になってしまいます.どうやら7次方程式の場合は「解法の簡潔さ」と「答えの簡潔さ」のどちらを重視するかにより,解法を変える必要があるようです.それよりも，そもそも，これらの異なる表現が可能であることが，驚きです．