解の公式 Part2 (r3, r5, r6 を r1 で表す) with Mathematica14.0

§0 準備

notebook  全体の評価には20秒ほど掛かります．ご注意ください．

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F35↓（評価してください)

F35=-(a5^7)-2 (a2^2) (a5^5) a6+8 a4 (a5^5) a6-(a2^4) (a5^3) (a6^2)+8 (a2^2) a4 (a5^3) (a6^2)-16 (a4^2) (a5^3) (a6^2)-(a3^8) a4 a7-(a2^4) (a5^4) a7+8 (a2^2) a4 (a5^4) a7-16 (a4^2) (a5^4) a7-(a2^6) (a5^2) a6 a7+12 (a2^4) a4 (a5^2) a6 a7-48 (a2^2) (a4^2) (a5^2) a6 a7+64 (a4^3) (a5^2) a6 a7+(a2^6) a4 a5 (a7^2)-12 (a2^4) (a4^2) a5 (a7^2)+48 (a2^2) (a4^3) a5 (a7^2)-64 (a4^4) a5 (a7^2)+6 (a2^3) (a5^3) (a7^2)-24 a2 a4 (a5^3) (a7^2)+2 (a2^5) a5 a6 (a7^2)-16 (a2^3) a4 a5 a6 (a7^2)+32 a2 (a4^2) a5 a6 (a7^2)-16 (a5^3) a6 (a7^2)-(a2^7) (a7^3)+12 (a2^5) a4 (a7^3)-48 (a2^3) (a4^2) (a7^3)+64 a2 (a4^3) (a7^3)-32 (a2^2) (a5^2) (a7^3)+128 a4 (a5^2) (a7^3)-8 (a2^4) a6 (a7^3)+64 (a2^2) a4 a6 (a7^3)-128 (a4^2) a6 (a7^3)+32 a2 a5 (a7^4)-128 (a7^5)+(a1^11) ((((a6^2)-4 a5 a7))^2)-(a3^6) ((a4^3) a5+2 a4 a6 (a2 a5-4 a7)-a2 (a4^2) a7+((a5^2)+(a2^2) a6) a7)+(a3^7) ((a4^2) a6+a7 (a2 a5+a7))+(a3^5) (2 a4 (a5^2) a6+(a2^3) (a7^2)-8 a6 (a7^2)-2 (a4^2) (4 (a6^2)+a5 a7)+(a2^2) ((a5^2) a6+2 a4 (a6^2)-4 a4 a5 a7)+a2 (3 (a4^2) (a5^2)-4 a5 a6 a7+2 a4 (a7^2)))+(a3^3) ((a5^4) a6-8 a4 (a5^2) (a6^2)-12 a4 (a5^3) a7+(a2^4) ((a6^3)-4 a5 a6 a7)+2 (a2^2) ((a5^2) (a6^2)-4 a4 (a6^3)-7 (a5^3) a7+4 a4 a5 a6 a7)+16 (a6^2) ((a4^2) a6+(a7^2))+(a2^3) ((a5^4)+4 a4 (a5^2) a6+2 a6 (a7^2))+a2 (6 a4 (a5^4)-16 (a4^2) (a5^2) a6+22 (a5^2) (a7^2)-8 a4 a6 (a7^2))+8 a5 (4 (a4^2) a6 a7+3 (a7^3)))+(a3^4) (-3 (a4^2) (a5^3)+8 (a4^3) a5 a6+4 (a5^2) a6 a7-4 a4 a7 (4 (a6^2)+5 a5 a7)+(a2^3) (-2 a5 (a6^2)+3 (a5^2) a7+2 a4 a6 a7)-2 a2 ((a5^3) a6-4 a4 a5 (a6^2)-7 a4 (a5^2) a7+4 (a4^2) a6 a7+2 (a7^3))-(a2^2) (3 a4 (a5^3)+2 (a4^2) a5 a6+a7 (-4 (a6^2)+5 a5 a7)))+(a3^2) (-16 (a5^3) (a7^2)-16 (a4^3) a5 ((a6^2)+a5 a7)+(a2^5) a7 ((a6^2)+2 a5 a7)-2 (a2^3) a7 (-9 (a5^2) a6+4 a4 (a6^2)+5 a4 a5 a7)+a4 (-3 (a5^5)+80 a5 a6 (a7^2))+16 (a4^2) ((a5^3) a6-4 (a7^3))-(a2^4) (2 (a5^3) a6+a4 a5 (a6^2)+a4 (a5^2) a7+10 (a7^3))+(a2^2) (-3 (a5^5)+4 a4 (a5^3) a6+8 (a4^2) (a5^2) a7+56 a4 (a7^3)+8 a5 a6 ((a4^2) a6-3 (a7^2)))+a2 a7 (21 (a5^4)-72 a4 (a5^2) a6+8 (a4^2) a5 a7+16 a6 ((a4^2) a6+(a7^2))))-2 (a1^10) (a4 (a3 a6-2 a2 a7) ((a6^2)-4 a5 a7)+(a4^2) a5 (-(a6^2)+4 a5 a7)-a7 ((a3^2) ((a6^2)-4 a5 a7)+2 ((a6^3)-4 a5 a6 a7+4 (a2^2) (a7^2))))+a3 (-(a2^6) a6 (a7^2)+(a2^5) (a5^2) ((a6^2)+a5 a7)+(a2^4) a7 (-6 a5 (a6^2)-7 (a5^2) a7+12 a4 a6 a7)+4 (a2^3) a5 ((a5^3) a6-2 a4 a5 (a6^2)-2 a4 (a5^2) a7+9 (a7^3))+a2 a5 (3 (a5^5)-16 a4 (a5^3) a6+16 (a4^2) (a5^2) a7-144 a4 (a7^3)+16 a5 a6 ((a4^2) a6+(a7^2)))+2 a7 (-5 (a5^5)+32 a4 (a5^3) a6-8 (a4^2) (a5^2) a7-48 a5 a6 ((a4^2) a6+(a7^2))+32 a4 a7 ((a4^2) a6+3 (a7^2)))-16 (a2^2) a7 ((a5^3) a6-3 a4 a5 (a6^2)-2 a4 (a5^2) a7+3 ((a4^2) a6 a7+(a7^3))))+(a1^9) ((a4^4) (a5^2)+2 a3 a5 (a6^3)-8 a3 (a5^2) a6 a7+(a3^4) (a7^2)-8 (a2^3) a6 (a7^2)+4 (a3^2) a6 (a7^2)-2 (a6^2) (a7^2)+24 a5 (a7^3)+2 (a2^2) (-(a5^2) (a6^2)+4 (a5^3) a7+a3 (a6^2) a7+4 a3 a5 (a7^2))-(a4^3) (2 a3 a5 a6+a2 ((a6^2)-8 a5 a7))+(a4^2) (-4 a2 a3 a6 a7+4 a7 (a5 a6-2 (a2^2) a7)+(a3^2) ((a6^2)+2 a5 a7))+a2 (-6 (a6^4)+44 a5 (a6^2) a7-80 (a5^2) (a7^2)-32 a3 (a7^3)+(a3^2) ((a6^3)-4 a5 a6 a7))+a4 (-4 (a5^2) (a6^2)+16 (a5^3) a7-2 a3 a6 ((a3^2)+5 a6) a7+24 a3 a5 (a7^2)+(a2^2) (-3 (a6^3)+4 a5 a6 a7)+a2 (4 (a3^2) (a7^2)+8 a6 (a7^2)+2 a3 a5 (-(a6^2)+4 a5 a7))))+(a1^7) (6 (a4^2) (a5^4)+4 (a4^3) (a5^2) a6-(a4^4) (a6^2)-4 (a5^2) (a6^3)-8 a4 (a6^4)+10 (a4^4) a5 a7-(a3^5) a6 a7+20 (a5^3) a6 a7+56 a4 a5 (a6^2) a7-52 a4 (a5^2) (a7^2)+12 (a4^2) a6 (a7^2)+9 (a7^4)+(a3^4) a4 ((a6^2)+2 a5 a7)-(a2^5) ((a6^3)+4 a5 a6 a7+8 a4 (a7^2))+(a3^2) (2 (a4^3) (a5^2)-(a4^4) a6-3 (a5^2) (a6^2)-18 a4 (a6^3)+18 (a5^3) a7+68 a4 a5 a6 a7+3 (a4^2) (a7^2))+(a3^3) (-3 (a4^2) a5 a6+(a4^3) a7+a7 (17 (a6^2)-62 a5 a7))+(a2^4) ((a5^4)+(a5^2) (-a4 a6+10 a3 a7)+a5 (-a3 (a6^2)+10 (a4^2) a7)-2 a7 (5 a3 a4 a6+2 (a3^2) a7-8 a6 a7))+a3 ((a4^5) a5-4 (a4^3) a6 a7+2 a6 a7 (14 (a6^2)-61 a5 a7)+(a4^2) a5 (5 (a6^2)-26 a5 a7)-2 a4 (3 (a5^3) a6+7 (a7^3)))+a2 (-(a3^4) (a7^2)-17 (a3^2) a6 (a7^2)+(a4^4) (3 (a5^2)-a3 a7)+4 (a7^2) (3 (a6^2)-25 a5 a7)+8 a3 a5 a6 (-3 (a6^2)+11 a5 a7)+(a3^3) a5 (-3 (a6^2)+14 a5 a7)+(a4^3) (4 a3 a5 a6-9 (a7^2))+a4 (-2 (a3^2) (a5^2) a6+10 (a3^3) a6 a7+2 a3 a7 (33 (a6^2)-109 a5 a7)+(a5^2) (5 (a6^2)-8 a5 a7))+2 (a4^2) (a3 (a5^3)-5 a6 ((a6^2)-3 a5 a7)+(a3^2) (-7 (a6^2)+13 a5 a7)))+(a2^2) (-4 a4 (a5^4)-(a4^2) (a5^2) a6+4 (a6^4)+(a3^4) a5 a7-21 (a4^3) a5 a7-43 a5 (a6^2) a7+106 (a5^2) (a7^2)-61 a4 a6 (a7^2)+(a3^3) a4 (-a5 a6+3 a4 a7)+(a3^2) ((a4^2) (a5^2)-3 (a4^3) a6-9 (a6^3)+37 a5 a6 a7-45 a4 (a7^2))+a3 (3 (a4^4) a5+2 (a5^3) a6+16 (a4^2) a6 a7+258 (a7^3)+a4 a5 (-17 (a6^2)+58 a5 a7)))+(a2^3) ((a3^2) (a5^2) a6+2 (a3^3) a6 a7-(a4^3) (2 (a5^2)+3 a3 a7)+(a5^2) (3 (a6^2)-16 a5 a7)-a3 a7 (23 (a6^2)+72 a5 a7)+(a4^2) (a3 a5 a6+18 (a7^2))+a4 (-2 a3 (a5^3)-5 (a3^2) ((a6^2)-3 a5 a7)+6 ((a6^3)+a5 a6 a7))))+(a1^8) (2 (a5^3) (a6^2)-(a3^3) (a6^3)+8 a3 (a6^4)-8 (a5^4) a7+6 (a3^3) a5 a6 a7-62 a3 a5 (a6^2) a7+136 a3 (a5^2) (a7^2)+10 (a3^2) (a7^3)-12 a6 (a7^3)+4 (a2^4) a7 ((a6^2)+2 a5 a7)+(a4^3) (-4 (a5^3)+a3 (a6^2)-10 a3 a5 a7)-2 a4 (-2 a5 (a6^3)+6 (a5^2) ((a3^2)+2 a6) a7+3 a3 ((a3^2)+a6) (a7^2))+6 (a4^2) (a3 (a5^2) a6+(a3^2) a6 a7+a7 ((a6^2)-5 a5 a7))+(a2^3) (2 (a4^2) a6 a7-72 (a7^3)+a3 ((a6^3)-4 a5 a6 a7)+a4 (5 a5 (a6^2)-16 (a5^2) a7+12 a3 (a7^2)))+(a2^2) (-(a4^3) a5 a6+(a4^4) a7-2 (a3^3) (a7^2)+12 a3 a6 (a7^2)+a5 a6 (7 (a6^2)-24 a5 a7)+2 (a3^2) a5 ((a6^2)-3 a5 a7)+(a4^2) (2 (a5^3)+5 a3 (a6^2)-14 a3 a5 a7)-a4 (2 a3 (a5^2) a6+(a3^2) a6 a7+a7 (17 (a6^2)-84 a5 a7)))-a2 ((a4^5) a5-a3 (a4^4) a6-(a3^4) a6 a7+(a3^2) a7 (13 (a6^2)-24 a5 a7)+8 a6 a7 (2 (a6^2)-7 a5 a7)+6 a3 (a5^2) (-(a6^2)+4 a5 a7)+(a4^3) (2 a3 (a5^2)+(a3^2) a7+2 a6 a7)-(a4^2) (3 (a3^2) a5 a6+12 a3 (a7^2)+a5 (-5 (a6^2)+8 a5 a7))+a4 (-20 (a7^3)+(a3^3) ((a6^2)+2 a5 a7)+a3 (-16 (a6^3)+44 a5 a6 a7))))-(a1^3) (4 (a4^3) (a5^4)-16 (a4^4) (a5^2) a6-7 (a5^4) (a6^2)-40 a4 (a5^2) (a6^3)+16 (a4^2) (a6^4)-3 (a3^7) a4 a7+16 (a4^5) a5 a7-6 (a5^5) a7+84 a4 (a5^3) a6 a7-48 (a4^2) a5 (a6^2) a7+(a2^7) a4 (a7^2)+4 (a4^2) (a5^2) (a7^2)+32 (a4^3) a6 (a7^2)+16 (a6^3) (a7^2)+104 a5 a6 (a7^3)+32 a4 (a7^4)+3 (a3^6) ((a4^2) a6-2 (a7^2))+(a2^6) (-(a4^2) a5 a7+2 (3 (a3^2)-a6) (a7^2)+a4 a6 ((a5^2)+2 a3 a7))+(a3^5) (-3 (a4^3) a5+3 a4 a6 a7+a5 ((a6^2)+6 a5 a7))-(a3^4) (7 a4 (a5^2) a6+11 a6 (a7^2)+(a4^2) (-9 (a6^2)+31 a5 a7))+(a3^3) (4 (a4^2) (a5^3)-2 (a4^3) a5 a6+3 a4 a7 (24 (a6^2)-79 a5 a7)+a5 a6 (-16 (a6^2)+65 a5 a7))+(a3^2) (-4 (a4^4) (a5^2)-7 (a5^4) a6+16 (a4^3) (a7^2)+72 (a6^2) (a7^2)-418 a5 (a7^3)-6 a4 (a5^2) (-3 (a6^2)+4 a5 a7)+8 (a4^2) ((a6^3)-10 a5 a6 a7))+(a2^4) (-7 (a4^2) (a5^2) a6+(a6^4)+9 (a4^3) a5 a7+19 a5 (a6^2) a7+14 (a5^2) (a7^2)+(a3^3) (-6 (a5^3)-7 a4 a5 a6+(a4^2) a7)+6 (a3^4) ((a6^2)-3 a5 a7)+(a3^2) (2 (a4^2) (a5^2)-2 (a6^3)-31 a5 a6 a7-18 a4 (a7^2))+2 a4 ((a5^4)+14 a6 (a7^2))+a3 (-4 (a5^3) a6+8 a4 a5 (a6^2)+26 a4 (a5^2) a7-13 (a4^2) a6 a7+8 (a7^3)))+a3 (-16 (a4^4) a6 a7+8 (a4^3) a5 ((a6^2)+3 a5 a7)+a5 (48 (a6^4)-156 a5 (a6^2) a7-41 (a5^2) (a7^2))+a4 (11 (a5^5)-144 (a6^3) a7+452 a5 a6 (a7^2))-2 (a4^2) (13 (a5^3) a6+24 (a7^3)))+(a2^5) (-4 (a5^2) (a6^2)+12 (a3^3) a6 a7-2 a4 a5 a6 a7-9 (a4^2) (a7^2)+(a3^2) (6 (a5^2) a6+a4 (a6^2)-9 a4 a5 a7)-a3 (a4 (a5^3)+(a4^2) a5 a6+a7 (4 (a6^2)+13 a5 a7)))+a2 ((a5^6)-8 a4 (a5^4) a6+14 (a4^2) (a5^3) a7+8 a4 (-2 (a4^3)+21 (a6^2)) (a7^2)+(a3^5) a4 (4 a5 a6-3 a4 a7)+(a3^6) (4 (a6^2)-23 a5 a7)-2 (a5^2) a6 (8 (a4^2) a6+35 (a7^2))+(a3^4) (-(a4^2) (a5^2)+6 (a4^3) a6-20 (a6^3)+73 a5 a6 a7-56 a4 (a7^2))-4 a5 a7 (-10 (a4^3) a6+4 (a6^3)+77 a4 (a7^2))-2 (a3^2) (5 a4 (a5^4)-13 (a4^2) (a5^2) a6-8 (a6^4)+47 (a4^3) a5 a7+60 a5 (a6^2) a7-171 (a5^2) (a7^2)+29 a4 a6 (a7^2))+(a3^3) (-6 (a4^4) a5+8 (a5^3) a6+92 (a4^2) a6 a7+429 (a7^3)+4 a4 a5 (-7 (a6^2)+15 a5 a7))+a3 (2 (a4^3) (a5^3)+16 (a5^3) (a6^2)+37 (a5^4) a7-516 a6 (a7^3)+2 (a4^2) a7 (8 (a6^2)-125 a5 a7)-8 a4 a5 a6 (-6 (a6^2)+17 a5 a7)))+(a2^3) (2 (a5^4) a6+20 a4 (a5^2) (a6^2)-30 a4 (a5^3) a7-2 (a4^2) a5 a6 a7+24 (a4^3) (a7^2)-34 (a6^2) (a7^2)-93 a5 (a7^3)+(a3^5) (-6 a5 a6+5 a4 a7)+(a3^4) (12 a4 (a5^2)+(a4^2) a6+78 (a7^2))+a3 (-4 (a4^2) (a5^3)+4 (a4^3) a5 a6+3 a4 a7 (4 (a6^2)-17 a5 a7)-a5 a6 (16 (a6^2)+25 a5 a7))+(a3^3) (-(a4^3) a5-56 a4 a6 a7+a5 (8 (a6^2)+81 a5 a7))+(a3^2) (13 (a5^4)-38 a4 (a5^2) a6+19 (a4^2) a5 a7-4 a6 ((a4^2) a6+7 (a7^2))))+(a2^2) (6 (a3^6) a4 a6+16 (a4^3) (a5^2) a6+18 (a5^2) (a6^3)-6 (a3^7) a7-24 (a4^4) a5 a7-11 (a5^3) a6 a7+200 (a7^4)+(a3^4) (3 (a5^2) a6-28 a4 (a6^2)-48 a4 a5 a7)+(a3^5) (-6 (a4^2) a5+52 a6 a7)+(a3^2) (8 (a4^3) (a5^2)-12 (a5^2) (a6^2)+6 a4 (a6^3)-89 (a5^3) a7+245 a4 a5 a6 a7+74 (a4^2) (a7^2))+a4 (-8 (a6^4)-72 a5 (a6^2) a7+147 (a5^2) (a7^2))-4 (a4^2) ((a5^4)+22 a6 (a7^2))+(a3^3) (-9 a4 (a5^3)+29 (a4^2) a5 a6+6 (a4^3) a7-a7 (77 (a6^2)+326 a5 a7))+a3 (-9 (a5^5)+32 a4 (a5^3) a6+14 (a4^2) (a5^2) a7+24 (a4^3) a6 a7+60 (a6^3) a7+266 a4 (a7^3)+a5 a6 (-34 (a4^2) a6+229 (a7^2)))))+(a1^6) (-(a4^6) a5+a3 (a4^5) a6+2 a3 (a5^4) a6+(a3^4) a5 (a6^2)+22 (a3^2) a5 (a6^3)+8 a5 (a6^4)-8 (a3^4) (a5^2) a7-94 (a3^2) (a5^2) a6 a7-54 (a5^2) (a6^2) a7+7 (a3^5) (a7^2)+50 (a5^3) (a7^2)+29 (a3^3) a6 (a7^2)-12 a3 (a6^2) (a7^2)+182 a3 a5 (a7^3)-(a4^4) (a3 (a5^2)+(a3^2) a7+2 a6 a7)+a4 (-4 (a5^5)+a3 (a5^2) (4 (a3^2)-5 a6) a6+50 a3 (a5^3) a7-4 a6 (4 (a3^4)+21 (a3^2) a6+4 (a6^2)) a7+4 a5 (52 (a3^2)+5 a6) (a7^2))+(a2^6) (2 a5 (a6^2)+a7 (a4 a6+6 a3 a7))+(a4^3) (-8 (a3^2) a5 a6+3 a3 (a7^2)+4 a5 (-2 (a6^2)+a5 a7))-(a2^5) ((a4^2) a5 a6+a3 (a5^2) a6-5 (a3^2) a6 a7+a7 (5 (a6^2)+12 a5 a7)+a4 ((a5^3)-a3 (a6^2)+10 a3 a5 a7))-2 (a4^2) (2 (a3^2) (a5^3)+6 (a5^3) a6+(a7^3)+(a3^3) (-6 (a6^2)+3 a5 a7)-4 a3 (3 (a6^3)-7 a5 a6 a7))+(a2^2) (2 (a5^5)+9 a4 (a5^3) a6-33 (a4^2) (a5^2) a7-10 (a3^4) a6 a7+(a3^3) (-2 (a5^2) a6+19 a4 (a6^2)-48 a4 a5 a7)+a5 a6 (23 (a4^2) a6-31 (a7^2))+a7 (9 (a4^3) a6+14 (a6^3)-143 a4 (a7^2))-a3 (2 (a4^3) (a5^2)+16 (a5^2) (a6^2)+19 a4 (a6^3)-60 (a5^3) a7+58 a4 a5 a6 a7+39 (a4^2) (a7^2))+(a3^2) (4 a4 (a5^3)-2 (a4^2) a5 a6+6 (a4^3) a7+a7 (55 (a6^2)+127 a5 a7)))+(a2^4) (-3 (a5^3) a6-12 a4 a5 (a6^2)+19 a4 (a5^2) a7-6 (a4^2) a6 a7+68 (a7^3)+(a3^2) a4 (-a5 a6+3 a4 a7)+(a3^3) ((a6^2)-6 a5 a7)+a3 (4 (a4^2) (a5^2)+22 a4 (a7^2)+3 ((a6^3)+8 a5 a6 a7)))+(a2^3) 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(-12 (a4^7)+71 a3 (a4^5) a5+(a3^6) (a5^2)-44 a3 (a5^5)+101 (a3^4) (a5^2) a6+244 (a3^2) (a5^2) (a6^2)-834 (a5^2) (a6^3)+6 (a3^7) a7+650 (a3^2) (a5^3) a7-80 (a3^5) a6 a7+3282 (a5^3) a6 a7+5 (a3^3) (a6^2) a7+1628 a3 (a6^3) a7-3440 (a3^3) a5 (a7^2)-9050 a3 a5 a6 (a7^2)-633 (a7^4)+(a2^8) (-4 (a6^2)+7 a5 a7)+(a4^4) (-119 (a3^2) a6-171 (a6^2)+483 a5 a7)+(a4^3) (44 (a3^2) (a5^2)+318 (a5^2) a6-259 (a3^3) a7-1170 a3 a6 a7)+(a2^7) (-a4 (a5^2)+(a4^2) a6+9 a3 a5 a6+3 a3 a4 a7-47 (a7^2))+(a4^2) (-6 (a3^5) a5+339 (a5^4)-249 (a3^3) a5 a6+1512 (a3^2) (a7^2)-162 a6 (a7^2)+a3 a5 (-751 (a6^2)+454 a5 a7))-(a2^6) (83 (a5^2) a6-58 a4 (a6^2)+(a3^2) (5 (a5^2)+11 a4 a6)-22 (a3^3) a7+71 a4 a5 a7+a3 ((a4^2) a5-101 a6 a7))+a4 (-100 (a3^3) (a5^3)+3 (a3^6) a6-944 (a6^4)+5044 a5 (a6^2) a7-3452 (a5^2) (a7^2)+(a3^4) (35 (a6^2)+631 a5 a7)+(a3^2) (-896 (a6^3)+5294 a5 a6 a7)+a3 (-852 (a5^3) a6+6444 (a7^3)))+(a2^4) (3 (a3^4) (a4^2)+(a3^5) a5+9 (a5^4)+391 a4 (a5^2) a6+399 (a4^2) a5 a7-74 (a3^3) (2 a5 a6-a4 a7)+3 (a3^2) (3 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(158 (a4^2) (a5^2)-108 (a4^3) a6+251 (a6^3)+1322 a5 a6 a7+1194 a4 (a7^2)))+a3 (13 (a4^6)+710 (a4^2) (a5^2) a6+796 (a6^4)-5260 a5 (a6^2) a7+10310 (a5^2) (a7^2)+(a4^3) (245 (a6^2)-772 a5 a7)+2 a4 (65 (a5^4)+459 a6 (a7^2)))+a2 (-51 (a4^5) a5+66 (a5^5)-2 (a3^5) ((a5^2)+3 a4 a6)-12 (a3^6) a7+628 (a4^3) a6 a7-764 (a6^3) a7+3998 a5 a6 (a7^2)+(a4^2) a5 (183 (a6^2)-856 a5 a7)+(a3^3) (-226 (a5^2) a6+9 a4 (a6^2)-808 a4 a5 a7)+4 (a3^4) (3 (a4^2) a5+44 a6 a7)+a4 (446 (a5^3) a6-4244 (a7^3))+(a3^2) (180 a4 (a5^3)+81 (a4^2) a5 a6+791 (a4^3) a7+a7 (1483 (a6^2)+188 a5 a7))+a3 (48 (a4^3) (a5^2)+41 (a4^4) a6-1238 (a4^2) (a7^2)+4 (a5^2) (-110 (a6^2)+3 a5 a7)+6 a4 (45 (a6^3)-386 a5 a6 a7)))+(a2^2) (266 (a4^2) (a5^3)+65 (a4^3) a5 a6-6 (a4^4) a7+(a3^4) (-77 a5 a6+147 a4 a7)+a5 a6 (-265 (a6^2)+478 a5 a7)+a4 a7 (-505 (a6^2)+5084 a5 a7)+(a3^3) (68 a4 (a5^2)-105 (a4^2) a6+1718 (a7^2))+(a3^2) (-36 (a4^3) a5+675 a4 a6 a7+22 a5 (25 (a6^2)-37 a5 a7))+a3 (27 (a4^5)-432 a4 (a5^2) a6-(a4^2) (135 (a6^2)+1154 a5 a7)-4 (4 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a6+20 a4 (a6^2)+222 a4 a5 a7)-(a2^3) (20 a4 (a5^2)+4 (a4^2) a6+15 (a7^2))-a2 (49 (a4^2) (a5^2)+2 (a4^3) a6+24 (a6^3)-589 a5 a6 a7+1151 a4 (a7^2)))+(a2^2) (-160 (a4^3) (a5^2) a6-182 (a5^2) (a6^3)+599 (a5^3) a6 a7+192 (a7^4)+48 (a4^4) ((a6^2)+3 a5 a7)+a4 (216 (a6^4)-792 a5 (a6^2) a7+253 (a5^2) (a7^2))+(a4^2) (43 (a5^4)-1600 a6 (a7^2)))-(a2^4) (-44 (a4^2) (a5^2) a6+27 (a6^4)-92 a5 (a6^2) a7+44 (a5^2) (a7^2)+12 (a4^3) ((a6^2)+4 a5 a7)+2 a4 (8 (a5^4)-229 a6 (a7^2)))+a2 (-15 (a5^6)+214 a4 (a5^4) a6+120 (a4^2) (a5^3) a7+4 a5 a7 (-104 (a4^3) a6+32 (a6^3)+587 a4 (a7^2))+(a5^2) (-368 (a4^2) (a6^2)+370 a6 (a7^2))+8 (36 (a4^3) (a6^3)+24 (a4^4) (a7^2)-163 a4 (a6^2) (a7^2)))+(a2^3) (-78 (a5^4) a6+192 a4 (a5^2) (a6^2)-208 (a4^2) (a6^3)+10 a4 (a5^3) a7-144 (a4^3) (a7^2)+286 (a6^2) (a7^2)+21 a5 (8 (a4^2) a6 a7-5 (a7^3)))+(a3^3) (-10 (a4^2) (a5^3)-120 (a4^3) a5 a6+18 (a2^5) a6 a7+2 (a2^4) (8 (a5^3)+13 a4 a5 a6+5 (a4^2) a7)+15 a5 a6 (32 (a6^2)-77 a5 a7)+3 a4 a7 (-488 (a6^2)+931 a5 a7)-(a2^3) (10 (a4^3) a5+152 a4 a6 a7+a5 (118 (a6^2)-111 a5 a7))+a2 (40 (a4^4) a5-230 (a5^3) a6+832 (a4^2) a6 a7-3051 (a7^3)-2 a4 a5 ((a6^2)+468 a5 a7))+(a2^2) (85 a4 (a5^3)+2 (a4^2) a5 a6-88 (a4^3) a7+a7 (9 (a6^2)+676 a5 a7)))+a3 (256 (a4^4) a6 a7-48 (a4^3) a5 (7 (a6^2)+a5 a7)+3 (a2^6) (3 a5 (a6^2)+2 (a5^2) a7+7 a4 a6 a7)+a5 (-768 (a6^4)+2204 a5 (a6^2) a7+129 (a5^2) (a7^2))+a4 (-85 (a5^5)+1744 (a6^3) a7-7012 a5 a6 (a7^2))+(a2^4) (123 (a5^3) a6-89 a4 a5 (a6^2)-29 a4 (a5^2) a7-164 (a4^2) a6 a7-139 (a7^3))+8 (a4^2) (31 (a5^3) a6-81 (a7^3))+(a2^3) (38 (a4^2) (a5^3)-16 (a4^3) a5 a6+6 a5 (a6^3)+48 (a4^4) a7-489 (a5^2) a6 a7+a4 a7 (712 (a6^2)-871 a5 a7))+(a2^5) (-7 a4 (a5^3)+2 (a4^2) a5 a6-6 (a4^3) a7+a7 (-69 (a6^2)+122 a5 a7))+a2 (-40 (a4^3) (a5^3)+32 (a4^4) a5 a6-290 (a5^3) (a6^2)-96 (a4^5) a7-553 (a5^4) a7+2764 a6 (a7^3)+4 a4 a5 a6 (26 (a6^2)+389 a5 a7)+4 (a4^2) a7 (-452 (a6^2)+727 a5 a7))+(a2^2) (79 (a5^5)-398 a4 (a5^3) a6-112 (a4^2) (a5^2) a7+a5 a6 (296 (a4^2) a6+419 (a7^2))+2 a7 (128 (a4^3) a6-162 (a6^3)+a4 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(a4^2) a6 a7+8347 (a7^3)+a4 a5 (5 (a6^2)+2791 a5 a7))+a3 (142 (a4^3) (a5^3)+184 (a4^4) a5 a6+743 (a5^3) (a6^2)-480 (a4^5) a7+3289 (a5^4) a7-9404 a6 (a7^3)+3 (a4^2) a7 (-556 (a6^2)+4833 a5 a7)+a4 (3740 a5 (a6^3)-9754 (a5^2) a6 a7))+(a2^6) (18 a3 (a5^3)-3 (a4^3) a6+24 (a6^3)+161 a5 a6 a7+(a4^2) (4 (a5^2)+27 a3 a7)+(a3^2) (-14 (a6^2)+46 a5 a7)-a4 (17 a3 a5 a6+37 (a7^2)))+(a3^2) (72 (a4^6)-300 (a4^2) (a5^2) a6-2120 (a6^4)+9122 a5 (a6^2) a7-20276 (a5^2) (a7^2)+2 (a4^3) (279 (a6^2)-593 a5 a7)+a4 (-525 (a5^4)+3132 a6 (a7^2)))+(a2^5) (-47 (a5^4)+28 a4 (a5^2) a6+310 (a4^2) a5 a7+(a3^3) (6 a5 a6-28 a4 a7)-a6 (152 (a4^2) a6+53 (a7^2))+(a3^2) (-31 a4 (a5^2)+15 (a4^2) a6+412 (a7^2))+a3 (-3 (a4^3) a5+520 a4 a6 a7+a5 (47 (a6^2)-287 a5 a7)))-(a2^4) (48 (a4^3) (a5^2)-36 (a4^4) a6+(a3^4) (-23 (a5^2)+a4 a6)+86 (a3^5) a7+220 (a4^2) (a7^2)-(a5^2) (5 (a6^2)+246 a5 a7)+(a3^2) (-566 (a5^2) a6+57 a4 (a6^2)+238 a4 a5 a7)+(a3^3) (-4 (a4^2) a5+564 a6 a7)+3 a4 (52 (a6^3)+435 a5 a6 a7)+a3 (28 a4 (a5^3)-11 (a4^2) a5 a6+183 (a4^3) a7+a7 (-215 (a6^2)+547 a5 a7)))+(a2^3) (-21 (a3^5) a4 a5+30 (a3^6) a6-336 (a4^2) (a5^2) a6+410 (a6^4)-209 a5 (a6^2) a7+1237 (a5^2) (a7^2)+(a3^3) (-311 (a5^3)-250 a4 a5 a6+217 (a4^2) a7)+10 (a4^3) (64 (a6^2)-95 a5 a7)+(a3^4) (9 (a4^3)-144 (a6^2)+1178 a5 a7)+(a3^2) (131 (a4^2) (a5^2)+18 (a4^3) a6+451 (a6^3)+228 a5 a6 a7-1180 a4 (a7^2))+a4 (297 (a5^4)-872 a6 (a7^2))+a3 (42 (a4^4) a5-1567 (a5^3) a6-1241 (a4^2) a6 a7+4437 (a7^3)+3 a4 a5 (143 (a6^2)+763 a5 a7)))-(a2^2) (-3 (a3^6) (a4^2)+6 (a3^7) a5-174 (a4^4) (a5^2)+144 (a4^5) a6-705 (a5^4) a6-1675 (a4^3) (a7^2)-1446 (a6^2) (a7^2)+6455 a5 (a7^3)-4 (a3^5) (29 a5 a6-5 a4 a7)+a4 (a5^2) (-28 (a6^2)+1803 a5 a7)+(a4^2) (10 (a6^3)-3033 a5 a6 a7)+(a3^4) (-128 a4 (a5^2)+101 (a4^2) a6-794 (a7^2))+(a3^2) (18 (a4^5)-821 (a5^4)+921 a4 (a5^2) a6+4147 a6 (a7^2)+(a4^2) (139 (a6^2)+1139 a5 a7))+(a3^3) (103 (a4^3) a5-1990 a4 a6 a7+a5 (-1343 (a6^2)+2255 a5 a7))+a3 (324 (a4^2) (a5^3)-74 (a4^3) a5 a6-420 (a4^4) a7+a5 a6 (1879 (a6^2)-5178 a5 a7)+a4 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a4 (2 (a3^2) a5 a6+393 (a2^2) a6 a7-74 a3 (a7^2)+6 a5 (5 (a6^2)-2 a5 a7)+a2 (8 (a5^3)+19 a3 (a6^2)-22 a3 a5 a7)))+(a3^3) (72 (a4^3) (a5^2)+16 (a4^4) a6-222 (a5^2) (a6^2)-8 a4 (a6^3)+(a2^5) a5 a7+992 (a5^3) a7+470 a4 a5 a6 a7+480 (a4^2) (a7^2)+2 (a2^3) (35 (a5^2) a6+6 a4 (a6^2)+12 a4 a5 a7)+(a2^4) (-4 a4 (a5^2)+(a4^2) a6+421 (a7^2))-2 (a2^2) (3 (a4^2) (a5^2)+4 (a4^3) a6+932 a4 (a7^2)-3 ((a6^3)+256 a5 a6 a7))+a2 (157 (a5^4)+180 a4 (a5^2) a6-832 (a4^2) a5 a7+4 a6 (-12 (a4^2) a6+457 (a7^2))))+a3 (37 (a2^7) (a7^2)+2 (a2^6) ((a5^2) a6+a4 (a6^2)-12 a4 a5 a7)+(a2^5) ((a4^2) (a5^2)+6 (a6^3)+262 a5 a6 a7-368 a4 (a7^2))-2 (a2^3) (4 (a4^3) (a5^2)-3 (a5^2) (a6^2)+24 a4 (a6^3)-163 (a5^3) a7+817 a4 a5 a6 a7-632 (a4^2) (a7^2))-4 (a2^4) (5 (a5^4)-3 a4 (a5^2) a6+6 (a4^2) (a6^2)-39 (a4^2) a5 a7+46 a6 (a7^2))+2 a2 (8 (a4^4) (a5^2)+165 (a5^4) a6-768 (a4^3) (a7^2)-844 (a6^2) (a7^2)+1301 a5 (a7^3)+12 a4 (a5^2) (5 (a6^2)-49 a5 a7)+12 (a4^2) (4 (a6^3)+79 a5 a6 a7))+2 (128 (a4^3) (a5^2) a6+192 (a5^2) (a6^3)+171 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a4 (a5^2) a6+8706 a6 (a7^2)-9 (a4^2) (29 (a6^2)-207 a5 a7))-(a3^2) (615 (a4^3) a5+3406 a4 a6 a7+a5 (-5139 (a6^2)+4580 a5 a7))))+(a1^7) (-99 (a4^6)-3 (a3^5) a4 a5-1276 a4 (a5^4)+3 (a3^6) a6-25 (a4^2) (a5^2) a6+262 (a4^3) (a6^2)-877 (a6^4)-4273 (a4^3) a5 a7-4737 a5 (a6^2) a7+23901 (a5^2) (a7^2)-16521 a4 a6 (a7^2)+(a3^3) (242 (a5^3)+209 a4 a5 a6-69 (a4^2) a7)+(a3^4) (6 (a4^3)-21 (a6^2)+172 a5 a7)+(a2^6) (-223 (a6^2)+264 a5 a7)+(a3^2) (-437 (a4^2) (a5^2)+123 (a4^3) a6-976 (a6^3)+3039 a5 a6 a7-11370 a4 (a7^2))+(a2^5) (98 (a4^2) a6+365 a3 a5 a6+152 (a7^2)+3 a4 ((a5^2)-135 a3 a7))+(a2^4) (-6 (a4^4)-23 a3 (a4^2) a5-115 (a3^2) (a5^2)-1667 (a5^2) a6+282 (a3^3) a7+3898 a3 a6 a7+a4 (47 (a3^2) a6+1212 (a6^2)-733 a5 a7))-(a2^3) (8 (a3^3) a4 a5-197 (a4^2) (a5^2)+76 (a3^4) a6+816 (a4^3) a6+2844 (a6^3)+6108 a5 a6 a7+693 a4 (a7^2)+a3 (-274 (a5^3)+850 a4 a5 a6-2581 (a4^2) a7)+(a3^2) (51 (a4^3)-668 (a6^2)+2626 a5 a7))+a3 (393 (a4^4) a5+1853 (a5^3) a6-1341 (a4^2) a6 a7+21801 (a7^3)+a4 a5 (-2252 (a6^2)+9165 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(a3^6) (89 a5 a6+99 a4 a7)+(a3^5) (-58 a4 (a5^2)-309 (a4^2) a6+3678 (a7^2))+(a2^7) (9 (a5^3)+56 a3 (a6^2)+22 (a4^2) a7+5 a5 (2 a4 a6-7 a3 a7))+(a3^4) (141 (a4^3) a5+2976 a4 a6 a7-a5 (742 (a6^2)+4449 a5 a7))+2 (a3^2) (-413 (a4^2) (a5^3)+104 (a4^3) a5 a6+1500 (a4^4) a7-2 a5 a6 (367 (a6^2)+4363 a5 a7)+3 a4 a7 (-2567 (a6^2)+7160 a5 a7))-(a2^6) (2 (a4^3) a5+32 a3 (a4^2) a6+106 (a3^2) a5 a6-348 a3 (a7^2)+2 a5 (68 (a6^2)-91 a5 a7)+a4 (19 a3 (a5^2)+5 (a3^2) a7-213 a6 a7))+2 a3 (68 (a4^4) (a5^2)+120 (a4^5) a6+808 (a5^4) a6-9024 (a4^3) (a7^2)+1596 (a6^2) (a7^2)+13415 a5 (a7^3)+a4 (a5^2) (2303 (a6^2)+1837 a5 a7)+3 (a4^2) (324 (a6^3)-385 a5 a6 a7))+(a3^3) (879 (a5^4)+1813 a4 (a5^2) a6-9138 (a4^2) a5 a7+12 a6 (115 (a4^2) a6+266 (a7^2)))-(a2^4) (42 (a3^4) a4 a5-11 (a4^4) a5+78 (a3^5) a6-466 (a4^2) a6 a7+3 (a3^2) (44 (a5^3)+165 a4 a5 a6-115 (a4^2) a7)+(a3^3) (30 (a4^3)+541 (a6^2)-735 a5 a7)+a4 a5 (-1020 (a6^2)+1261 a5 a7)+a3 (60 (a4^2) (a5^2)-247 (a4^3) a6+338 (a6^3)-1984 a5 a6 a7+2271 a4 (a7^2))+25 (37 (a5^3) a6-76 (a7^3)))+(a2^2) (-9 (a3^7) a4+8 (a4^5) a5+67 (a5^5)+(a3^5) (-157 (a5^2)+133 a4 a6)+44 (a3^6) a7-4214 (a4^3) a6 a7-4106 (a6^3) a7+15190 a5 a6 (a7^2)+2 (a4^2) a5 (-1121 (a6^2)+2319 a5 a7)+(a3^3) (96 (a4^4)-1207 (a5^2) a6-850 a4 (a6^2)+574 a4 a5 a7)-(a3^4) (133 (a4^2) a5+762 a6 a7)-2 a3 (-213 (a4^3) (a5^2)+268 (a4^4) a6+3321 (a5^2) (a6^2)-731 a4 (a6^3)-852 (a5^3) a7+3402 a4 a5 a6 a7-6546 (a4^2) (a7^2))+(a3^2) (-621 a4 (a5^3)+1032 (a4^2) a5 a6-1084 (a4^3) a7-388 (a6^2) a7+974 a5 (a7^2))+a4 (2702 (a5^3) a6+96 (a7^3)))-2 (40 (a4^6) a5-3228 (a4^4) a6 a7+12 (a4^3) a5 (-53 (a6^2)+248 a5 a7)-3 a5 (912 (a6^4)-4379 a5 (a6^2) a7+1598 (a5^2) (a7^2))+a4 (227 (a5^5)-5220 (a6^3) a7+10374 a5 a6 (a7^2))+9 (a4^2) (92 (a5^3) a6+693 (a7^3)))+(a2^3) (36 (a3^5) (a4^2)+23 (a3^6) a5+106 (a4^2) (a5^3)+84 (a4^3) a5 a6+568 (a4^4) a7+(a3^4) (866 a5 a6-1749 a4 a7)+2 a4 a7 (1373 (a6^2)-1321 a5 a7)+4 a5 a6 (-86 (a6^2)+609 a5 a7)+2 (a3^3) (57 a4 (a5^2)+62 (a4^2) a6+1553 (a7^2))+(a3^2) (-52 (a4^3) 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a2 a3 a4-2544 (a2^2) a5+505 a4 a5+797 a3 a6+15202 a2 a7)+(a1^5) (63504 (a2^5)-56448 (a2^3) a4-12684 (a3^2) a4-25822 (a5^2)-28 a2 (924 (a4^2)+1117 a3 a5)+143655 a4 a6+56 (a2^2) (819 (a3^2)+368 a6)-42954 a3 a7)+2 (a2^2) (3 a3 (a4^2)+694 (a3^2) a5-1179 a5 a6-1052 a4 a7)+a2 (240 (a3^3) a4+340 (a4^2) a5-2281 a3 (a5^2)-928 a3 a4 a6+3965 (a3^2) a7+7416 a6 a7)+(a1^4) (95256 (a2^4) a3+2676 a3 (a4^2)-151312 (a2^3) a5+27090 (a3^2) a5-121841 a5 a6+a2 (-12208 (a3^3)+82307 a4 a5+136131 a3 a6)-45651 a4 a7+(a2^2) (-92064 a3 a4+1070554 a7))+(a1^3) (17640 (a2^6)-874 (a3^4)-19824 (a2^4) a4+6478 (a4^3)-2039 a3 a4 a5+(a2^2) (-22698 (a4^2)+17063 a3 a5)+(a2^3) (6720 (a3^2)-7542 a6)+27625 (a3^2) a6-221718 (a6^2)+324905 a5 a7-a2 (10281 (a3^2) a4+44441 (a5^2)-182692 a4 a6+178019 a3 a7))+(a1^2) (13104 (a2^5) a3+1767 (a3^3) a4-23394 (a2^4) a5+1649 (a4^2) a5-22567 a3 (a5^2)-4001 a3 a4 a6+(a2^2) (-7056 (a3^3)+22358 a4 a5+51742 a3 a6)+16547 (a3^2) a7+101790 a6 a7+(a2^3) (-21042 a3 a4+187648 a7)+a2 (1500 a3 (a4^2)+24995 (a3^2) a5-61712 a5 a6-36323 a4 a7))+a1 (960 (a2^7)-1092 (a2^5) a4+381 (a3^2) (a4^2)+86 (a3^3) a5+2700 a4 (a5^2)-8 (a2^3) (447 (a4^2)-937 a3 a5)-8378 (a4^2) a6-12893 a3 a5 a6-2 (a2^4) (525 (a3^2)+802 a6)+33662 a3 a4 a7+34452 (a7^2)-(a2^2) (144 (a3^2) a4+10018 (a5^2)-28704 a4 a6+39373 a3 a7)+a2 (-72 (a3^4)+2490 (a4^3)-4709 a3 a4 a5+10133 (a3^2) a6-44832 (a6^2)+73373 a5 a7))) (x^20)+(15 (a1^14)+910 (a1^12) a2+120 (a2^7)+1872 (a1^11) a3+66 (a1^10) (195 (a2^2)-28 a4)-168 (a2^5) a4+30 (a3^2) (a4^2)+22 (a1^9) (1395 a2 a3-736 a5)-28 (a3^3) a5+415 a4 (a5^2)-12 (a2^3) (32 (a4^2)-95 a3 a5)-6 (a2^4) (35 (a3^2)-8 a6)-960 (a4^2) a6-1485 a3 a5 a6+9 (a1^8) (6600 (a2^3)+935 (a3^2)-2486 a2 a4+1788 a6)+18 (a1^6) (5390 (a2^4)-3640 (a2^2) a4-293 (a4^2)-821 a3 a5+8 a2 (224 (a3^2)+391 a6))+4014 a3 a4 a7+3828 (a7^2)+18 (a1^7) (6864 (a2^2) a3-1247 a3 a4-6381 a2 a5+22688 a7)+6 (a1^5) (24696 (a2^3) a3-552 (a3^3)-13014 a2 a3 a4-31254 (a2^2) a5+6370 a4 a5+11006 a3 a6+175303 a2 a7)+(a1^4) (52920 (a2^5)+18648 (a2^2) (a3^2)-53424 (a2^3) a4-6396 (a3^2) a4-14565 a2 (a4^2)-278 a2 a3 a5-22446 (a5^2)+37091 (a2^2) a6+90681 a4 a6-43716 a3 a7)+(a2^2) (108 (a3^2) a4-1369 (a5^2)+2970 a4 a6-3879 a3 a7)+a2 (12 (a3^4)+300 (a4^3)-825 a3 a4 a5+1143 (a3^2) a6-4686 (a6^2)+8021 a5 a7)+3 (a1^2) (2520 (a2^6)-62 (a3^4)-3304 (a2^4) a4+825 (a4^3)-1065 a3 a4 a5+(a2^2) (-2468 (a4^2)+4953 a3 a5)-8 (a2^3) (49 (a3^2)-165 a6)+3394 (a3^2) a6-25520 (a6^2)+39507 a5 a7-a2 (551 (a3^2) a4+6824 (a5^2)-20844 a4 a6+22173 a3 a7))+(a1^3) (48384 (a2^4) a3-75047 (a2^3) a5+a2 (-7700 (a3^3)+42245 a4 a5+83517 a3 a6)+(a2^2) (-50631 a3 a4+515287 a7)+3 (823 a3 (a4^2)+5056 (a3^2) a5-22983 a5 a6-2759 a4 a7))+a1 (2772 (a2^5) a3+468 (a3^3) a4-4788 (a2^4) a5+390 (a4^2) a5-5470 a3 (a5^2)-2121 a3 a4 a6+(a2^2) (-1680 (a3^3)+4629 a4 a5+14931 a3 a6)-177 (a2^3) (28 a3 a4-225 a7)+6192 (a3^2) a7+24420 a6 a7+a2 (645 a3 (a4^2)+5862 (a3^2) a5-16868 a5 a6-2307 a4 a7))) (x^21)+(105 (a1^13)+3640 (a1^11) a2+4862 (a1^10) a3+55 (a1^9) (585 (a2^2)-86 a4)+66 (a1^8) (783 a2 a3-385 a5)+6 (a1^7) (15840 (a2^3)+1452 (a3^2)-6303 a2 a4+4160 a6)+9 (a1^5) (10780 (a2^4)+2048 a2 (a3^2)-7856 (a2^2) a4-327 (a4^2)-568 a3 a5+7057 a2 a6)+6 (a1^6) (22176 (a2^2) a3-4179 a3 a4-19797 a2 a5+66469 a7)+3 (a1^4) (31920 (a2^3) a3-948 (a3^3)-17787 a2 a3 a4-39603 (a2^2) a5+8272 a4 a5+15815 a3 a6+216053 a2 a7)+(a1^2) (15876 (a2^4) a3+1149 a3 (a4^2)-24374 (a2^3) a5+5474 (a3^2) a5-26316 a5 a6+a2 (-2912 (a3^3)+14075 a4 a5+33613 a3 a6)+2544 a4 a7+(a2^2) (-17934 a3 a4+169777 a7))+(a1^3) (30240 (a2^5)-33516 (a2^3) a4+a2 (-5418 (a4^2)+9973 a3 a5)+(a2^2) (2772 (a3^2)+30950 a6)-3 (625 (a3^2) a4+4491 (a5^2)-13632 a4 a6+8365 a3 a7))+2 (126 (a2^5) a3+26 (a3^3) a4-210 (a2^4) a5+25 (a4^2) a5+(a2^2) (-84 (a3^3)+197 a4 a5+939 a3 a6)-6 a3 (50 (a5^2)+29 a4 a6)-3 (a2^3) (84 a3 a4-655 a7)+450 (a3^2) a7+1353 a6 a7+a2 (45 a3 (a4^2)+300 (a3^2) a5-1032 a5 a6+212 a4 a7))+a1 (1890 (a2^6)-10 (a3^4)-2772 (a2^4) a4-1267 a3 a4 a5+(a2^2) (-1416 (a4^2)+5084 a3 a5)-144 (a2^3) (7 (a3^2)-18 a6)+2229 (a3^2) a6+a2 (120 (a3^2) a4-5517 (a5^2)+12842 a4 a6-14017 a3 a7)+6 (95 (a4^3)-2716 (a6^2)+4435 a5 a7))) (x^22)+(455 (a1^12)+10010 (a1^10) a2+210 (a2^6)+9152 (a1^9) a3+2 (a3^4)+99 (a1^8) (585 (a2^2)-88 a4)-336 (a2^4) a4+60 (a4^3)+132 (a1^7) (486 a2 a3-229 a5)-185 a3 a4 a5-40 (a2^2) (3 (a4^2)-17 a3 a5)-24 (a2^3) (7 (a3^2)-19 a6)+219 (a3^2) a6-1614 (a6^2)+6 (a1^6) (18480 (a2^3)+1056 (a3^2)-7689 a2 a4+4838 a6)+(a1^4) (69300 (a2^4)+6120 a2 (a3^2)-53640 (a2^2) a4-885 (a4^2)+1088 a3 a5+50431 a2 a6)+2778 a5 a7+6 (a1^5) (17424 (a2^2) a3-3411 a3 a4-15249 a2 a5+49853 a7)+(a1^3) (42840 (a2^3) a3-1516 (a3^3)-25239 a2 a3 a4-52951 (a2^2) a5+11308 a4 a5+24183 a3 a6+290729 a2 a7)+a2 (60 (a3^2) a4-663 (a5^2)+1194 a4 a6-1267 a3 a7)+a1 (3024 (a2^4) a3+285 a3 (a4^2)-4648 (a2^3) a5+1154 (a3^2) a5-6078 a5 a6+a2 (-616 (a3^3)+2725 a4 a5+8011 a3 a6)+1710 a4 a7+(a2^2) (-3696 a3 a4+34457 a7))+(a1^2) (11340 (a2^5)-13524 (a2^3) a4+a2 (-1200 (a4^2)+6503 a3 a5)-4 (a2^2) (273 (a3^2)-3748 a6)-3 (63 (a3^2) a4+1781 (a5^2)-4152 a4 a6+2903 a3 a7))) (x^23)+(1365 (a1^11)+20020 (a1^9) a2+12870 (a1^8) a3+252 (a2^4) a3+5940 (a1^7) (13 (a2^2)-2 a4)+330 (a1^6) (180 a2 a3-83 a5)-392 (a2^3) a5+9 (a1^5) (10560 (a2^3)+341 (a3^2)-4565 a2 a4+2810 a6)+3 (a1^3) (11550 (a2^4)+160 a2 (a3^2)-9400 (a2^2) a4+9 (a4^2)+755 a3 a5+9276 a2 a6)+a2 (-56 (a3^3)+230 a4 a5+858 a3 a6)+(a2^2) (-336 a3 a4+3262 a7)+3 (a1^4) (19800 (a2^2) a3-4035 a3 a4-17275 a2 a5+56544 a7)+6 (a1^2) (2100 (a2^3) a3-84 (a3^3)-1311 a2 a3 a4-2623 (a2^2) a5+571 a4 a5+1382 a3 a6+14989 a2 a7)+6 (5 a3 (a4^2)+18 (a3^2) a5-107 a5 a6+47 a4 a7)+a1 (2520 (a2^5)-3192 (a2^3) a4-8 a2 (15 (a4^2)-239 a3 a5)+(a2^2) (-588 (a3^2)+4064 a6)+3 (16 (a3^2) a4-421 (a5^2)+764 a4 a6-568 a3 a7))) (x^24)+3 (1001 (a1^10)+10010 (a1^8) a2+84 (a2^5)+4576 (a1^7) a3+44 (a1^6) (585 (a2^2)-92 a4)-112 (a2^3) a4+4 (a3^2) a4+66 (a1^5) (207 a2 a3-95 a5)+76 a2 a3 a5-45 (a5^2)-4 (a2^2) (7 (a3^2)-40 a6)+64 a4 a6+5 (a1^4) (3960 (a2^3)+55 (a3^2)-1771 a2 a4+1086 a6)+(a1^2) (3850 (a2^4)-160 a2 (a3^2)-3272 (a2^2) a4+45 (a4^2)+397 a3 a5+3398 a2 a6)-48 a3 a7+(a1^3) (7920 (a2^2) a3-1685 a3 a4-6991 a2 a5+23508 a7)+a1 (728 (a2^3) a3-32 (a3^3)-484 a2 a3 a4-932 (a2^2) a5+206 a4 a5+572 a3 a6+5732 a2 a7)) (x^25)+(5005 (a1^9)+34320 (a1^7) a2+11154 (a1^6) a3+99 (a1^5) (585 (a2^2)-94 a4)+66 (a1^4) (315 a2 a3-146 a5)+3 (a1^3) (8800 (a2^3)-4059 a2 a4+2512 a6)+a1 (2310 (a2^4)-192 a2 (a3^2)-2040 (a2^2) a4+48 (a4^2)+307 a3 a5+2234 a2 a6)+3 (a1^2) (2112 (a2^2) a3-471 a3 a4-1913 a2 a5+6770 a7)+2 (84 (a2^3) a3-4 (a3^3)-60 a2 a3 a4-112 (a2^2) a5+25 a4 a5+81 a3 a6+767 a2 a7)) (x^26)+3 (2145 (a1^8)+10010 (a1^6) a2+70 (a2^4)+2288 (a1^5) a3-8 a2 (a3^2)+55 (a1^4) (195 (a2^2)-32 a4)-64 (a2^2) a4+2 (a4^2)+2 (a1^3) (1254 a2 a3-595 a5)+11 a3 a5+74 a2 a6+(a1^2) (2640 (a2^3)-28 (a3^2)-1253 a2 a4+790 a6)+a1 (336 (a2^2) a3-79 a3 a4-317 a2 a5+1208 a7)) (x^27)+(6435 (a1^7)+20020 (a1^5) a2+3146 (a1^4) a3+72 (a2^2) a3+22 (a1^3) (585 (a2^2)-98 a4)-18 a3 a4+4 (a1^2) (459 a2 a3-226 a5)-72 a2 a5+a1 (1440 (a2^3)-27 (a3^2)-702 a2 a4+454 a6)+302 a7) (x^28)+(5005 (a1^6)+10010 (a1^4) a2+120 (a2^3)+1040 (a1^3) a3-3 (a3^2)+30 (a1^2) (117 (a2^2)-20 a4)-60 a2 a4+10 a1 (27 a2 a3-14 a5)+40 a6) (x^29)+(3003 (a1^5)+3640 (a1^3) a2+585 a1 (a2^2)+234 (a1^2) a3+18 a2 a3-102 a1 a4-10 a5) (x^30)+(1365 (a1^4)+910 (a1^2) a2+45 (a2^2)+32 a1 a3-8 a4) (x^31)+(455 (a1^3)+140 a1 a2+2 a3) (x^32)+5 (21 (a1^2)+2 a2) (x^33)+15 a1 (x^34)+(x^35);

findF12G12[f_] := Module[{f35, factors, pos1, pos2, f12, d,R1,R2, f12factors,u,v,fp,fm,g1,g2,gcd1,gcd2},
Clear[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7];
  f35 = F35 /. AssociationThread[{a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7} -> Reverse@CoefficientList[f, x, 7]];
  factors = FactorList[f35];
  pos1 = Position[Exponent[factors[[All, 1]], x], 14][[1, 1]];
  f12 = factors[[pos1]][[1]];
  d = Sqrt@Discriminant[f12, x];
  f12factors= FactorList[f12, Extension -> d];
  pos2 = Flatten@Position[Exponent[f12factors[[All, 1]], x], 7];
  {$f1,$f2}=(Expand[#/Coefficient[#, x, 7]] &) /@f12factors[[pos2]][[All, 1]];
  u=-(t1+t2)/14+(t1-t2)/(2Sqrt[-7]);
  v=-(t1+t2)/14-(t1-t2)/(2Sqrt[-7]);
fp=($f1/.{x->u})+($f2/.{x->v});
fm=Sqrt[-7](($f1/.{x->u})-($f2/.{x->v}));
g1=GroebnerBasis[{f/.{x->(t1+t2)/7},fp,fm},{t1},{t2}][[1]];
$g1=If[Coefficient[g1,t1,7]=!=0,Expand[#/Coefficient[#,t1,7]]&[g1]/.{t1->x},
R1=Resultant[f/.{x->(t1+t2)/7},fp/.{u->-(t1+t2)/14-Sqrt[-7](t1-t2)/14,v->-(t1+t2)/14+Sqrt[-7](t1-t2)/14},t2];
R2=Resultant[f/.{x->(t1+t2)/7},fm/.{u->-(t1+t2)/14-Sqrt[-7](t1-t2)/14,v->-(t1+t2)/14+Sqrt[-7](t1-t2)/14},t2];
PolynomialGCD[R1,R2,Extension->Automatic];
gcd1=PolynomialGCD[R1,R2,Extension->Automatic];
Expand[gcd1/Coefficient[gcd1,t1,7]]/.{t1->x}];
g2=GroebnerBasis[{f/.{x->(t1+t2)/7},fp,fm},{t2},{t1}][[1]];
$g2=If[Coefficient[g2,t2,7]=!=0,Expand[#/Coefficient[#,t2,7]]&[g2]/.{t2->x},
R1=Resultant[f/.{x->(t1+t2)/7},fp/.{u->-(t1+t2)/14-Sqrt[-7](t1-t2)/14,v->-(t1+t2)/14+Sqrt[-7](t1-t2)/14},t1];
R2=Resultant[f/.{x->(t1+t2)/7},fm/.{u->-(t1+t2)/14-Sqrt[-7](t1-t2)/14,v->-(t1+t2)/14+Sqrt[-7](t1-t2)/14},t1];
gcd2=PolynomialGCD[R1,R2,Extension->Automatic];
Expand[gcd2/Coefficient[gcd2,t2,7]]/.{t2->x}];
If[$g1===x^7,{$f1,$f2,$g1,$g2}={$f2,$f1,$g2,$g1}];
Return[{$f1,$f2,$g1,$g2}]]

(*findF3は$f1,$f2が必要なので, findF12G12が既に実行されている事が必要*)
findF3[f_]:=Module[{R1,R2,gcd3},
R1=Resultant[f,$f1/.{x->(t-x)/2},x];
R2=Resultant[f,$f2/.{x->(-t-x)/2},x];
gcd3=PolynomialGCD[R1,R2,Extension->Automatic];
$f3=(Expand[#/Coefficient[#,t,7]]&[gcd3])/.{t->x}]

§1 . 定義の確認

(Subscript[r, 0]) ~(Subscript[r, 6]) は f の解 (Subscript[x, 0]) ~ (Subscript[x, 6]) から作られるLagrange分解式です．

r0=x0+x1+ x2+  x3 + x4 + x5 +x6 ;
r1=x0+ζ x1+ ζ^2 x2 +ζ^3 x3 +ζ^4 x4+ζ^5 x5 +ζ^6 x6;
r2=x0+ζ^2 x1+ ζ^4 x2 +ζ^6 x3 +ζ x4+ζ^3 x5 +ζ^5 x6;
r3=x0+ζ ^3 x1+ ζ^6 x2 +ζ^2 x3 +ζ^5 x4+ζ x5 +ζ^4 x6;
r4=x0+ζ^4 x1+ ζ x2 +ζ^5 x3 +ζ^2 x4+ζ^6 x5 +ζ^3 x6;
r5=x0+ζ ^5 x1+ ζ^3 x2 +ζ x3 +ζ^6 x4+ζ^4 x5 +ζ^2 x6;
r6=x0+ζ^6 x1+ ζ^5 x2 +ζ^4 x3 +ζ^3 x4+ζ^2 x5 +ζ x6;

F1, F2, F3, G1, G2 は下の様に定義されます．ζ は1の虚数7乗根の一つです．

F1=(x-(x0+x1+x3))(x-(x1+x2+x4))(x-(x2+x3+x5))(x-(x3+x4+x6))(x-(x0+x4+x5))(x-(x1+x5+x6))(x-(x0+x2+x6))//Collect[#,x]&;
F2=(x-(x0+x2+x3))(x-(x1+x3+x4))(x-(x2+x4+x5))(x-(x3+x5+x6))(x-(x0+x4+x6))(x-(x1+x5+x0))(x-(x1+x2+x6))//Collect[#,x]&;
F3=(x-(x0+x1+x3)+(x2+x4+x5))(x-(x1+x2+x4)+(x3+x5+x6))(x-(x2+x3+x5)+(x0+x4+x6))(x-(x3+x4+x6)+(x1+x5+x0))(x-(x0+x4+x5)+(x1+x2+x6))(x-(x1+x5+x6)+(x0+x2+x3))(x-(x0+x2+x6)+(x1+x3+x4))//Collect[#,x]&;

G1=PolynomialMod[(x-(r1+r2+r4))(x-(ζ r1+ζ ^2r2+ζ ^4r4))(x-(ζ^2 r1+ζ ^4r2+ζ r4))(x-(ζ^3 r1+ζ ^6r2+ζ ^5r4))(x-(ζ^4 r1+ζ r2+ζ ^2r4))(x-(ζ^5 r1+ζ ^3r2+ζ ^6r4))(x-(ζ^6 r1+ζ ^5r2+ζ ^3r4)),Cyclotomic[7,ζ]]//Collect[#,x]&;
G2=PolynomialMod[(x-(r3+r5+r6))(x-(ζ^4 r3+ζ ^2r5+ζ r6))(x-(ζ r3+ζ ^4r5+ζ^2 r6))(x-(ζ^5 r3+ζ ^6r5+ζ ^3r6))(x-(ζ^2 r3+ζ r5+ζ ^4r6))(x-(ζ^6 r3+ζ ^3r5+ζ ^5r6))(x-(ζ^3 r3+ζ ^5r5+ζ ^6r6)),Cyclotomic[7,ζ]]//Collect[#,x]&;

§2. 公式(#)

(Subscript[a, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[c, i]),(SuperPlus[(Subscript[d, i])]),(SuperMinus[(Subscript[d, i])]),(Subscript[e, i])(i= 1,2,.. 7 )をそれぞれf,(Subscript[G, 1]),(Subscript[G, 2]),(SuperPlus[F])=(Subscript[F, 1])+ (Subscript[F, 2]),(SuperMinus[F])=(Sqrt[-7])( (Subscript[F, 1])- (Subscript[F, 2])),(Sqrt[-7])(Subscript[F, 3]) の(7- i) 次の係数とすると,(Subscript[下の様にr, 3]),(Subscript[r, 5]),(Subscript[r, 6]) も (Subscript[r, 1]) の式で表すことができます．

({{{, ({{(Subscript[r, 1])(Subscript[r, 6])+(Subscript[r, 2])(Subscript[r, 5])+(Subscript[r, 4])(Subscript[r, 3])=-7(Subscript[a, 2]), (16)}, {((Subscript[r, 4])^2)(Subscript[r, 6])+((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 5])+((Subscript[r, 2])^2)(Subscript[r, 3])=-(1/14)(Subscript[b, 3])+(21/4)(SuperPlus[(Subscript[d, 3])])-(7/4)(SuperMinus[(Subscript[d, 2])])-14(Subscript[a, 3]), (17)}, {(Subscript[r, 4])((Subscript[r, 2])^2)(Subscript[r, 6])+(Subscript[r, 1])((Subscript[r, 4])^2)(Subscript[r, 5])+(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])=(1/21)(Subscript[c, 4])-(1/42)(Subscript[b, 4])+(49/12)(SuperPlus[(Subscript[d, 4])])+(49/12)(SuperMinus[(Subscript[d, 4])])-(98/3)(Subscript[a, 4]), (18)}, {((Subscript[r, 1])^4)(Subscript[r, 3])+((Subscript[r, 2])^4)(Subscript[r, 6])+((Subscript[r, 4])^4)(Subscript[r, 5])=7 (Subscript[e, 5])+(1/7)(Subscript[c, 5])-((3 )/14)(Subscript[b, 5])-((343 (SuperPlus[(Subscript[d, 5])]))/4)-((343 (SuperMinus[(Subscript[d, 5])]))/4)+(Subscript[b, 3]) (Subscript[a, 2])-343 (Subscript[a, 5]), (19)}})}})⋯(#)

原論文では上の式を  グレブナー基底を用いて導いています．また原論文では (Subscript[第4行のc, 5])の係数は (-1/7)ですが，私の計算では (1/7)となりました．ここでは私の計算結果の方を載せました．

以下 (SuperPlus[F]), (SuperMinus[F]), (SuperPlus[(Subscript[d, i])]),(SuperMinus[(Subscript[d, i])])はそれぞれFp, Fm, (Subscript[dp, i]), (Subscript[dm, i]) と表記します．まず定義に従って (Subscript[dp, i]),(Subscript[dm, i,])(Subscript[e, i]), (Subscript[b, i]), (Subscript[c, i]) を 求めます．

Fp=F1+F2//Collect[#,x]&;(*Fp=(SuperPlus[F])*)
Fm=Sqrt[-7](F1-F2)//Collect[#,x]&;(*Fm=(SuperMinus[F])*)
{dp3,dp4,dp5,dp6,dp7}=CoefficientList[Fp,x,5]//Reverse;
{dm3,dm4,dm5,dm6,dm7}=CoefficientList[Fm,x,5]//Reverse;
{e3,e4,e5,e6,e7}=Sqrt[-7] CoefficientList[F3,x,5]//Reverse;
{b3,b4,b5,b6,b7}=CoefficientList[G1,x,5]//Reverse;
{c3,c4,c5,c6,c7}=CoefficientList[G2,x,5]//Reverse;

vars={x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6};
lagrange={{1,1,1,1,1,1,1},{1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6},{1,ζ^2,ζ^4,ζ^6,ζ,ζ^3,ζ^5},{1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4},{1,ζ^4,ζ,ζ^5,ζ^2,ζ^6,ζ^3},{1,ζ^5,ζ^3,ζ,ζ^6,ζ^4,ζ^2},{1,ζ^6,ζ^5,ζ^4,ζ^3,ζ^2,ζ}};
rules=AssociationThread[{r0,r1,r2,r3,r4,r5,r6}->lagrange.vars];

これで (Subscript[a, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[c, i]), (SuperPlus[(Subscript[d, i])]),(SuperMinus[(Subscript[d, i])]),(Subscript[e, i]) が (Subscript[x, 0])~(Subscript[x, 6]) と (Sqrt[-7])で表されました．

(Subscript[dp, i]), (Subscript[dm, i]),(Subscript[e, i]) は 既に (Subscript[x, 0])~(Subscript[x, 6]) の式です. (Subscript[b, i]), (Subscript[c, i]) も (Subscript[x, 0])~(Subscript[x, 6]) の式に直し「ζ=Cos[2π/7]+i Sin[2π/7]」とします．この時よく知られているように「ζ+(ζ^2)+(ζ^4)=(-1+(Sqrt[-7]))/2 」が成り立つのでそれを使って簡単にします．

以下の計算はやや時間がかかるので，最低必要な変数のみ計算し,結果のみ下のclosed cell に⼊れています．

{b3, b4, b5, b6, b7} = Collect[PolynomialMod[{b3, b4, b5, b6, b7} /. rules, Cyclotomic[7,]],] /. { ^4 -> -- ^2 + 1/2 (-1 + Sqrt[-7])} // Simplify;
{c3, c4, c5} = Collect[PolynomialMod[{c3, c4, c5} /. rules, Cyclotomic[7,]],] /. { ^4 -> -- ^2 + 1/2 (-1 + Sqrt[-7])} // Simplify;

{b3, b4, b5, b6, b7}, {c3, c4, c5} は(↓)です．評価してください .

{b3,b4,b5,b6,b7}={7 (-2 (x0^3)-2 (x1^3)-2 (x2^3)+(x2^2) x3-I (Sqrt[7]) (x2^2) x3+x2 (x3^2)+I (Sqrt[7]) x2 (x3^2)-2 (x3^3)+(x2^2) x4-I (Sqrt[7]) (x2^2) x4+2 x2 x3 x4+(x3^2) x4-I (Sqrt[7]) (x3^2) x4+x2 (x4^2)+I (Sqrt[7]) x2 (x4^2)+x3 (x4^2)+I (Sqrt[7]) x3 (x4^2)-2 (x4^3)+(x2^2) x5+I (Sqrt[7]) (x2^2) x5-5 x2 x3 x5+I (Sqrt[7]) x2 x3 x5+(x3^2) x5-I (Sqrt[7]) (x3^2) x5-5 x2 x4 x5-I (Sqrt[7]) x2 x4 x5+2 x3 x4 x5+(x4^2) x5-I (Sqrt[7]) (x4^2) x5+x2 (x5^2)-I (Sqrt[7]) x2 (x5^2)+x3 (x5^2)+I (Sqrt[7]) x3 (x5^2)+x4 (x5^2)+I (Sqrt[7]) x4 (x5^2)-2 (x5^3)+(x2^2) x6-I (Sqrt[7]) (x2^2) x6+2 x2 x3 x6+(x3^2) x6+I (Sqrt[7]) (x3^2) x6+2 x2 x4 x6-5 x3 x4 x6+I (Sqrt[7]) x3 x4 x6+(x4^2) x6-I (Sqrt[7]) (x4^2) x6+2 x2 x5 x6-5 x3 x5 x6-I (Sqrt[7]) x3 x5 x6+2 x4 x5 x6+(x5^2) x6-I (Sqrt[7]) (x5^2) x6+x2 (x6^2)+I (Sqrt[7]) x2 (x6^2)+x3 (x6^2)-I (Sqrt[7]) x3 (x6^2)+x4 (x6^2)+I (Sqrt[7]) x4 (x6^2)+x5 (x6^2)+I (Sqrt[7]) x5 (x6^2)-2 (x6^3)+(x1^2) (x2-I (Sqrt[7]) x2+x3-I (Sqrt[7]) x3+x4+I (Sqrt[7]) x4+x5-I (Sqrt[7]) x5+x6+I (Sqrt[7]) x6)+(x0^2) (x1-I (Sqrt[7]) x1+x2-I (Sqrt[7]) x2+x3+I (Sqrt[7]) x3+x4-I (Sqrt[7]) x4+x5+I (Sqrt[7]) x5+x6+I (Sqrt[7]) x6)+x1 ((1+I (Sqrt[7])) (x2^2)+(1+I (Sqrt[7])) (x3^2)+(-5-I (Sqrt[7])) x3 x4+(x4^2)-I (Sqrt[7]) (x4^2)+2 x4 x5+(x5^2)+I (Sqrt[7]) (x5^2)+2 x4 x6-5 x5 x6+I (Sqrt[7]) x5 x6+(x6^2)-I (Sqrt[7]) (x6^2)+2 x3 (x5+x6)+x2 (2 x3-5 x4+I (Sqrt[7]) x4+2 x5-5 x6-I (Sqrt[7]) x6))+x0 ((1+I (Sqrt[7])) (x1^2)+(1+I (Sqrt[7])) (x2^2)+(x3^2)-I (Sqrt[7]) (x3^2)+2 x3 x4+(x4^2)+I (Sqrt[7]) (x4^2)+2 x3 x5-5 x4 x5+I (Sqrt[7]) x4 x5+(x5^2)-I (Sqrt[7]) (x5^2)+2 x3 x6-5 x4 x6-I (Sqrt[7]) x4 x6+2 x5 x6+(x6^2)-I (Sqrt[7]) (x6^2)+x1 (2 x2-5 x3+I (Sqrt[7]) x3+2 x4-5 x5-I (Sqrt[7]) x5+2 x6)+x2 (-5 x3-I (Sqrt[7]) x3+2 x4+2 x5-5 x6+I (Sqrt[7]) x6))),-(7/2) (6 (x0^4)+6 (x1^4)+6 (x2^4)-4 (x2^3) x3+4 I (Sqrt[7]) (x2^3) x3-6 (x2^2) (x3^2)-4 x2 (x3^3)-4 I (Sqrt[7]) x2 (x3^3)+6 (x3^4)-4 (x2^3) x4+4 I (Sqrt[7]) (x2^3) x4-12 (x2^2) x3 x4-6 I (Sqrt[7]) (x2^2) x3 x4+30 x2 (x3^2) x4-4 (x3^3) x4+4 I (Sqrt[7]) (x3^3) x4-6 (x2^2) (x4^2)-12 x2 x3 (x4^2)+6 I (Sqrt[7]) x2 x3 (x4^2)-6 (x3^2) (x4^2)-4 x2 (x4^3)-4 I (Sqrt[7]) x2 (x4^3)-4 x3 (x4^3)-4 I (Sqrt[7]) x3 (x4^3)+6 (x4^4)-4 (x2^3) x5-4 I (Sqrt[7]) (x2^3) x5+9 (x2^2) x3 x5+3 I (Sqrt[7]) (x2^2) x3 x5+9 x2 (x3^2) x5+3 I (Sqrt[7]) x2 (x3^2) x5-4 (x3^3) x5+4 I (Sqrt[7]) (x3^3) x5+9 (x2^2) x4 x5-3 I (Sqrt[7]) (x2^2) x4 x5-24 x2 x3 x4 x5-12 (x3^2) x4 x5-6 I (Sqrt[7]) (x3^2) x4 x5+9 x2 (x4^2) x5-3 I (Sqrt[7]) x2 (x4^2) x5+30 x3 (x4^2) x5-4 (x4^3) x5+4 I (Sqrt[7]) (x4^3) x5-6 (x2^2) (x5^2)+9 x2 x3 (x5^2)+3 I (Sqrt[7]) x2 x3 (x5^2)-6 (x3^2) (x5^2)+9 x2 x4 (x5^2)-3 I (Sqrt[7]) x2 x4 (x5^2)-12 x3 x4 (x5^2)+6 I (Sqrt[7]) x3 x4 (x5^2)-6 (x4^2) (x5^2)-4 x2 (x5^3)+4 I (Sqrt[7]) x2 (x5^3)-4 x3 (x5^3)-4 I (Sqrt[7]) x3 (x5^3)-4 x4 (x5^3)-4 I (Sqrt[7]) x4 (x5^3)+6 (x5^4)-4 (x2^3) x6+4 I (Sqrt[7]) (x2^3) x6-12 (x2^2) x3 x6-6 I (Sqrt[7]) (x2^2) x3 x6-12 x2 (x3^2) x6+6 I (Sqrt[7]) x2 (x3^2) x6-4 (x3^3) x6-4 I (Sqrt[7]) (x3^3) x6-12 (x2^2) x4 x6-6 I (Sqrt[7]) (x2^2) x4 x6+18 x2 x3 x4 x6-18 I (Sqrt[7]) x2 x3 x4 x6+9 (x3^2) x4 x6+3 I (Sqrt[7]) (x3^2) x4 x6+30 x2 (x4^2) x6+9 x3 (x4^2) x6+3 I (Sqrt[7]) x3 (x4^2) x6-4 (x4^3) x6+4 I (Sqrt[7]) (x4^3) x6+30 (x2^2) x5 x6-24 x2 x3 x5 x6+9 (x3^2) x5 x6-3 I (Sqrt[7]) (x3^2) x5 x6+18 x2 x4 x5 x6+18 I (Sqrt[7]) x2 x4 x5 x6-24 x3 x4 x5 x6-12 (x4^2) x5 x6-6 I (Sqrt[7]) (x4^2) x5 x6-12 x2 (x5^2) x6-6 I (Sqrt[7]) x2 (x5^2) x6+9 x3 (x5^2) x6-3 I (Sqrt[7]) x3 (x5^2) x6+30 x4 (x5^2) x6-4 (x5^3) x6+4 I (Sqrt[7]) (x5^3) x6-6 (x2^2) (x6^2)+30 x2 x3 (x6^2)-6 (x3^2) (x6^2)-12 x2 x4 (x6^2)+6 I (Sqrt[7]) x2 x4 (x6^2)+9 x3 x4 (x6^2)+3 I (Sqrt[7]) x3 x4 (x6^2)-6 (x4^2) (x6^2)-12 x2 x5 (x6^2)+6 I (Sqrt[7]) x2 x5 (x6^2)+9 x3 x5 (x6^2)-3 I (Sqrt[7]) x3 x5 (x6^2)-12 x4 x5 (x6^2)+6 I (Sqrt[7]) x4 x5 (x6^2)-6 (x5^2) (x6^2)-4 x2 (x6^3)-4 I (Sqrt[7]) x2 (x6^3)-4 x3 (x6^3)+4 I (Sqrt[7]) x3 (x6^3)-4 x4 (x6^3)-4 I (Sqrt[7]) x4 (x6^3)-4 x5 (x6^3)-4 I (Sqrt[7]) x5 (x6^3)+6 (x6^4)+4 I (x0^3) ((I+(Sqrt[7])) x1+(I+(Sqrt[7])) x2+I x3-(Sqrt[7]) x3+I x4+(Sqrt[7]) x4+I x5-(Sqrt[7]) x5+I x6-(Sqrt[7]) x6)+4 I (x1^3) ((I+(Sqrt[7])) x2+(I+(Sqrt[7])) x3+I x4-(Sqrt[7]) x4+I x5+(Sqrt[7]) x5+I x6-(Sqrt[7]) x6)-3 (x0^2) (2 (x1^2)+2 (x2^2)+2 (x3^2)-10 x3 x4+2 (x4^2)+4 x3 x5-2 I (Sqrt[7]) x3 x5-3 x4 x5-I (Sqrt[7]) x4 x5+2 (x5^2)+x1 ((4+2 I (Sqrt[7])) x2-3 x3-I (Sqrt[7]) x3+4 x4+2 I (Sqrt[7]) x4-3 x5+I (Sqrt[7]) x5-10 x6)+4 x3 x6-2 I (Sqrt[7]) x3 x6-3 x4 x6+I (Sqrt[7]) x4 x6+4 x5 x6-2 I (Sqrt[7]) x5 x6+2 (x6^2)+x2 (-3 x3+I (Sqrt[7]) x3+4 x4+2 I (Sqrt[7]) x4-10 x5-3 x6-I (Sqrt[7]) x6))-3 (x1^2) (2 (x2^2)+2 (x3^2)+2 (x4^2)-10 x4 x5+2 (x5^2)+x3 (-3 x4+I (Sqrt[7]) x4+4 x5+2 I (Sqrt[7]) x5-10 x6)+4 x4 x6-2 I (Sqrt[7]) x4 x6-3 x5 x6-I (Sqrt[7]) x5 x6+2 (x6^2)+x2 ((4+2 I (Sqrt[7])) x3-3 x4-I (Sqrt[7]) x4+4 x5+2 I (Sqrt[7]) x5-3 x6+I (Sqrt[7]) x6))+x0 ((-4-4 I (Sqrt[7])) (x1^3)+(-4-4 I (Sqrt[7])) (x2^3)-4 (x3^3)+4 I (Sqrt[7]) (x3^3)-12 (x3^2) x4-6 I (Sqrt[7]) (x3^2) x4-12 x3 (x4^2)+6 I (Sqrt[7]) x3 (x4^2)-4 (x4^3)-4 I (Sqrt[7]) (x4^3)-12 (x3^2) x5-6 I (Sqrt[7]) (x3^2) x5+18 x3 x4 x5-18 I (Sqrt[7]) x3 x4 x5+9 (x4^2) x5+3 I (Sqrt[7]) (x4^2) x5+30 x3 (x5^2)+9 x4 (x5^2)+3 I (Sqrt[7]) x4 (x5^2)-4 (x5^3)+4 I (Sqrt[7]) (x5^3)+30 (x3^2) x6-24 x3 x4 x6+9 (x4^2) x6-3 I (Sqrt[7]) (x4^2) x6+18 x3 x5 x6+18 I (Sqrt[7]) x3 x5 x6-24 x4 x5 x6-12 (x5^2) x6-6 I (Sqrt[7]) (x5^2) x6-12 x3 (x6^2)-6 I (Sqrt[7]) x3 (x6^2)+9 x4 (x6^2)-3 I (Sqrt[7]) x4 (x6^2)+30 x5 (x6^2)-4 (x6^3)+4 I (Sqrt[7]) (x6^3)+3 (x2^2) ((3-I (Sqrt[7])) x3+10 x4-4 x5+2 I (Sqrt[7]) x5+3 x6+I (Sqrt[7]) x6)+3 (x1^2) (10 x2+(3+I (Sqrt[7])) x3-4 x4+2 I (Sqrt[7]) x4+3 x5-I (Sqrt[7]) x5-4 x6+2 I (Sqrt[7]) x6)+3 x2 ((3-I (Sqrt[7])) (x3^2)+(6+6 I (Sqrt[7])) x3 x4+2 I (2 I+(Sqrt[7])) (x4^2)-4 (x5^2)-2 I (Sqrt[7]) (x5^2)+6 x5 x6-6 I (Sqrt[7]) x5 x6+3 (x6^2)+I (Sqrt[7]) (x6^2)-8 x3 (x5+x6)-8 x4 (x5+x6))+3 x1 (2 I (2 I+(Sqrt[7])) (x2^2)+(3+I (Sqrt[7])) (x3^2)+10 (x4^2)-8 x4 x5+3 (x5^2)-I (Sqrt[7]) (x5^2)+x2 (-8 x3+6 x4-6 I (Sqrt[7]) x4+6 x5+6 I (Sqrt[7]) x5-8 x6)+6 x4 x6+6 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x6-6 I (Sqrt[7]) x6)+3 x1 (18 (x2^2)+I (3 I+(Sqrt[7])) (x3^2)+4 (x4^2)+6 I (Sqrt[7]) (x4^2)+8 x4 x5-8 I (Sqrt[7]) x4 x5-3 (x5^2)-I (Sqrt[7]) (x5^2)-6 x4 x6-2 I (Sqrt[7]) x4 x6-20 x5 x6+4 I (Sqrt[7]) x5 x6+4 (x6^2)+6 I (Sqrt[7]) (x6^2)+x3 (-20 x4-4 I (Sqrt[7]) x4+8 x5+8 I (Sqrt[7]) x5-6 x6+2 I (Sqrt[7]) x6)+x2 ((8-8 I (Sqrt[7])) x3-6 x4-6 I (Sqrt[7]) x4-6 x5-2 I (Sqrt[7]) x5-20 x6-4 I (Sqrt[7]) x6))+3 x2 ((-3-I (Sqrt[7])) (x3^2)+18 (x4^2)+4 (x5^2)+6 I (Sqrt[7]) (x5^2)-6 x5 x6+2 I (Sqrt[7]) x5 x6-3 (x6^2)+I (Sqrt[7]) (x6^2)+4 x4 (-5 x5-I (Sqrt[7]) x5+2 x6-2 I (Sqrt[7]) x6)+x3 ((-6-2 I (Sqrt[7])) x4-20 x5+4 I (Sqrt[7]) x5+8 x6+8 I (Sqrt[7]) x6)))+x0 (5 I (I+(Sqrt[7])) (x1^4)+5 I (I+(Sqrt[7])) (x2^4)-5 (x3^4)-5 I (Sqrt[7]) (x3^4)-20 (x3^3) x4+8 I (Sqrt[7]) (x3^3) x4+54 (x3^2) (x4^2)-20 x3 (x4^3)-8 I (Sqrt[7]) x3 (x4^3)-5 (x4^4)+5 I (Sqrt[7]) (x4^4)-20 (x3^3) x5+8 I (Sqrt[7]) (x3^3) x5-18 (x3^2) x4 x5-18 I (Sqrt[7]) (x3^2) x4 x5-18 x3 (x4^2) x5+6 I (Sqrt[7]) x3 (x4^2) x5+22 (x4^3) x5-2 I (Sqrt[7]) (x4^3) x5+12 (x3^2) (x5^2)+18 I (Sqrt[7]) (x3^2) (x5^2)-18 x3 x4 (x5^2)+6 I (Sqrt[7]) x3 x4 (x5^2)-9 (x4^2) (x5^2)+3 I (Sqrt[7]) (x4^2) (x5^2)+36 x3 (x5^3)+22 x4 (x5^3)-2 I (Sqrt[7]) x4 (x5^3)-5 (x5^4)-5 I (Sqrt[7]) (x5^4)+36 (x3^3) x6-60 (x3^2) x4 x6-12 I (Sqrt[7]) (x3^2) x4 x6+24 x3 (x4^2) x6+24 I (Sqrt[7]) x3 (x4^2) x6+22 (x4^3) x6+2 I (Sqrt[7]) (x4^3) x6-18 (x3^2) x5 x6-6 I (Sqrt[7]) (x3^2) x5 x6+48 x3 x4 x5 x6+24 (x4^2) x5 x6-24 I (Sqrt[7]) (x4^2) x5 x6-18 x3 (x5^2) x6-6 I (Sqrt[7]) x3 (x5^2) x6-60 x4 (x5^2) x6-12 I (Sqrt[7]) x4 (x5^2) x6-20 (x5^3) x6+8 I (Sqrt[7]) (x5^3) x6+12 (x3^2) (x6^2)+18 I (Sqrt[7]) (x3^2) (x6^2)+24 x3 x4 (x6^2)-24 I (Sqrt[7]) x3 x4 (x6^2)-9 (x4^2) (x6^2)-3 I (Sqrt[7]) (x4^2) (x6^2)-18 x3 x5 (x6^2)-6 I (Sqrt[7]) x3 x5 (x6^2)-60 x4 x5 (x6^2)+12 I (Sqrt[7]) x4 x5 (x6^2)+12 (x5^2) (x6^2)+18 I (Sqrt[7]) (x5^2) (x6^2)-20 x3 (x6^3)+8 I (Sqrt[7]) x3 (x6^3)+22 x4 (x6^3)+2 I (Sqrt[7]) x4 (x6^3)+36 x5 (x6^3)-5 (x6^4)-5 I (Sqrt[7]) (x6^4)+(x2^3) ((22+2 I (Sqrt[7])) x3+36 x4-20 x5-8 I (Sqrt[7]) x5+22 x6-2 I (Sqrt[7]) x6)+(x1^3) (36 x2+(22-2 I (Sqrt[7])) x3-20 x4-8 I (Sqrt[7]) x4+22 x5+2 I (Sqrt[7]) x5-20 x6-8 I (Sqrt[7]) x6)+3 (x1^2) ((4-6 I (Sqrt[7])) (x2^2)+I (3 I+(Sqrt[7])) (x3^2)+4 (x4^2)-6 I (Sqrt[7]) (x4^2)-20 x4 x5+4 I (Sqrt[7]) x4 x5-3 (x5^2)-I (Sqrt[7]) (x5^2)-6 x4 x6+6 I (Sqrt[7]) x4 x6+8 x5 x6+8 I (Sqrt[7]) x5 x6+18 (x6^2)+x3 ((8+8 I (Sqrt[7])) x4+(8-8 I (Sqrt[7])) x5+2 I (3 I+(Sqrt[7])) x6)-2 I x2 (2 (-5 I+(Sqrt[7])) x3-(3 I+(Sqrt[7])) x4+(-3 I+(Sqrt[7])) x5-2 (5 I+(Sqrt[7])) x6))+2 x2 ((11+I (Sqrt[7])) (x3^3)+(-10-4 I (Sqrt[7])) (x4^3)-10 (x5^3)+4 I (Sqrt[7]) (x5^3)-9 (x5^2) x6-9 I (Sqrt[7]) (x5^2) x6-9 x5 (x6^2)+3 I (Sqrt[7]) x5 (x6^2)+11 (x6^3)-I (Sqrt[7]) (x6^3)+12 x4 (x5+x6) (x5-I (Sqrt[7]) x5+x6+I (Sqrt[7]) x6)+6 (x4^2) ((2+2 I (Sqrt[7])) x5+I (5 I+(Sqrt[7])) x6)+3 (x3^2) ((-3-I (Sqrt[7])) x4+(4-4 I (Sqrt[7])) x5+2 I (5 I+(Sqrt[7])) x6)+3 x3 (3 I (I+(Sqrt[7])) (x4^2)-2 I (-5 I+(Sqrt[7])) (x5^2)+8 x5 x6-2 I (-5 I+(Sqrt[7])) (x6^2)+8 x4 (x5+x6)))+2 x1 ((-10-4 I (Sqrt[7])) (x2^3)+(11-I (Sqrt[7])) (x3^3)+18 (x4^3)-30 (x4^2) x5-6 I (Sqrt[7]) (x4^2) x5+12 x4 (x5^2)+12 I (Sqrt[7]) x4 (x5^2)+11 (x5^3)+I (Sqrt[7]) (x5^3)-9 (x4^2) x6-3 I (Sqrt[7]) (x4^2) x6+24 x4 x5 x6+12 (x5^2) x6-12 I (Sqrt[7]) (x5^2) x6-9 x4 (x6^2)-3 I (Sqrt[7]) x4 (x6^2)-30 x5 (x6^2)-6 I (Sqrt[7]) x5 (x6^2)-10 (x6^3)+4 I (Sqrt[7]) (x6^3)+3 (x2^2) (2 I (5 I+(Sqrt[7])) x3+I (3 I+(Sqrt[7])) x4-3 x5+3 I (Sqrt[7]) x5+4 x6+4 I (Sqrt[7]) x6)+3 (x3^2) ((4-4 I (Sqrt[7])) x4-2 I (-5 I+(Sqrt[7])) x5+I (3 I+(Sqrt[7])) x6)+3 x3 (2 I (5 I+(Sqrt[7])) (x4^2)+2 I (5 I+(Sqrt[7])) (x5^2)+8 x5 x6-3 I (-I+(Sqrt[7])) (x6^2)+8 x4 (x5+x6))+3 x2 ((4+4 I (Sqrt[7])) (x3^2)+I (3 I+(Sqrt[7])) (x4^2)-3 (x5^2)-I (Sqrt[7]) (x5^2)+8 x5 x6+4 (x6^2)-4 I (Sqrt[7]) (x6^2)+8 x4 (x5+x6)+8 x3 (x4+x5+x6)))+3 (x2^2) ((-3-I (Sqrt[7])) (x3^2)+(4-6 I (Sqrt[7])) (x4^2)+18 (x5^2)-6 x5 x6+2 I (Sqrt[7]) x5 x6-3 (x6^2)+I (Sqrt[7]) (x6^2)+4 I x4 ((5 I+(Sqrt[7])) x5-(-5 I+(Sqrt[7])) x6)+x3 ((-6-2 I (Sqrt[7])) x4+8 (x5+I (Sqrt[7]) x5+x6-I (Sqrt[7]) x6))))+x1 (5 I (I+(Sqrt[7])) (x2^4)+5 I (I+(Sqrt[7])) (x3^4)-5 (x4^4)-5 I (Sqrt[7]) (x4^4)-20 (x4^3) x5+8 I (Sqrt[7]) (x4^3) x5+54 (x4^2) (x5^2)-20 x4 (x5^3)-8 I (Sqrt[7]) x4 (x5^3)-5 (x5^4)+5 I (Sqrt[7]) (x5^4)-20 (x4^3) x6+8 I (Sqrt[7]) (x4^3) x6-18 (x4^2) x5 x6-18 I (Sqrt[7]) (x4^2) x5 x6-18 x4 (x5^2) x6+6 I (Sqrt[7]) x4 (x5^2) x6+22 (x5^3) x6-2 I (Sqrt[7]) (x5^3) x6+12 (x4^2) (x6^2)+18 I (Sqrt[7]) (x4^2) (x6^2)-18 x4 x5 (x6^2)+6 I (Sqrt[7]) x4 x5 (x6^2)-9 (x5^2) (x6^2)+3 I (Sqrt[7]) (x5^2) (x6^2)+36 x4 (x6^3)+22 x5 (x6^3)-2 I (Sqrt[7]) x5 (x6^3)-5 (x6^4)-5 I (Sqrt[7]) (x6^4)+(x2^3) (36 x3+(22-2 I (Sqrt[7])) x4-20 x5-8 I (Sqrt[7]) x5+22 x6+2 I (Sqrt[7]) x6)+(x3^3) (22 x4+2 I (Sqrt[7]) x4+36 x5-20 x6-8 I (Sqrt[7]) x6)+3 (x2^2) ((4-6 I (Sqrt[7])) (x3^2)+I (3 I+(Sqrt[7])) (x4^2)+4 (x5^2)-6 I (Sqrt[7]) (x5^2)-20 x5 x6+4 I (Sqrt[7]) x5 x6-3 (x6^2)-I (Sqrt[7]) (x6^2)+8 x4 (x5+I (Sqrt[7]) x5+x6-I (Sqrt[7]) x6)+x3 (-4 I (-5 I+(Sqrt[7])) x4-6 x5+2 I (Sqrt[7]) x5-6 x6-2 I (Sqrt[7]) x6))+3 (x3^2) ((-3-I (Sqrt[7])) (x4^2)+(4-6 I (Sqrt[7])) (x5^2)+4 I (5 I+(Sqrt[7])) x5 x6+18 (x6^2)+x4 (-6 x5-2 I (Sqrt[7]) x5+8 x6+8 I (Sqrt[7]) x6))+2 x2 ((-10-4 I (Sqrt[7])) (x3^3)+(11-I (Sqrt[7])) (x4^3)+18 (x5^3)-30 (x5^2) x6-6 I (Sqrt[7]) (x5^2) x6+12 x5 (x6^2)+12 I (Sqrt[7]) x5 (x6^2)+11 (x6^3)+I (Sqrt[7]) (x6^3)+6 (x4^2) ((2-2 I (Sqrt[7])) x5+(-5-I (Sqrt[7])) x6)+3 I (x3^2) (2 (5 I+(Sqrt[7])) x4+(3 I+(Sqrt[7])) x5+3 (I+(Sqrt[7])) x6)+6 x4 (I (5 I+(Sqrt[7])) (x5^2)+4 x5 x6+I (5 I+(Sqrt[7])) (x6^2))+3 x3 ((4+4 I (Sqrt[7])) (x4^2)+I (3 I+(Sqrt[7])) (x5^2)+8 x5 x6+(-3-I (Sqrt[7])) (x6^2)+8 x4 (x5+x6)))+2 x3 ((11+I (Sqrt[7])) (x4^3)+3 (x4^2) (-3 x5-I (Sqrt[7]) x5+4 x6-4 I (Sqrt[7]) x6)+3 x4 (3 I (I+(Sqrt[7])) (x5^2)+8 x5 x6-2 I (-5 I+(Sqrt[7])) (x6^2))+2 ((-5-2 I (Sqrt[7])) (x5^3)+6 (1-I (Sqrt[7])) x5 (x6^2)+(-5+2 I (Sqrt[7])) (x6^3)+6 (x5^2) (x6+I (Sqrt[7]) x6)))))};

(Subscript[これでa, i]), (Subscript[b, i]), (Subscript[c, i]), (SuperPlus[(Subscript[d, i])]), (SuperMinus[(Subscript[d, i])]) , (Subscript[e, i]) (Subscript[がx, 0])~ (Subscript[x, 6]) と (Sqrt[-7]) で表されました．(Subscript[例えばb, 3]) は次の様になります．

b3

§3 . 公式(#)の証明その１ (基本対称式のグレブナー基底)

(Subscript[x, 0])~(Subscript[x, 6]) のk次基本対称式を (Subscript[s, k])とし， {(Subscript[s, 1,])(Subscript[s, 2])- (Subscript[a, 2]),(Subscript[s, 3])+ (Subscript[a, 3]),(Subscript[s, 4])- (Subscript[a, 4]) ,(Subscript[s, 5])+ (Subscript[a, 5])}というイデアルのグレブナー基底 base を 作ります(所謂「名前付け」です)． なお「(Subscript[s, 1])=0 」と仮定しているので (Subscript[s, 1])には名前は付けません．

{s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7}=Table[SymmetricPolynomial[k,vars],{k,1,7}];
base=GroebnerBasis[{s1 ,s2-a2,s3+a3,s4-a4,s5+a5,s6-a6,s7+a7 },Reverse[vars],MonomialOrder->Lexicographic]

【コメント】「base」は 基本対称式 (Subscript[s, k])に (Subscript[a, k]) という名前を付けただけです．(k=2,..,5)  例えば次と同じ使い方です．
「問」((Subscript[x, 1])^3)+((Subscript[x, 2])^3)+((Subscript[x, 3])^3) を (Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3]), (Subscript[x, 1])(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 2])(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 3])(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 1])(Subscript[x, 2])(Subscript[x, 3 ])を用いて表せ 
「解答」grb=GroebnerBasis[{x1+x2+x3-p, x1 x2+x2 x3+x3 x1-q, x1 x2 x3-r},{x3,x2,x1,p,q,r}]
{-r+q x1-p (x1^2)+(x1^3),q-p x1+(x1^2)-p x2+x1 x2+(x2^2),-p+x1+x2+x3}
PolynomialReduce[x1^3+x2^3+x3^3,grb,{x3,x2,x1,p,q,r}]
{{3,2 p-2 x1+x2+x3,(p^2)-q-p x1-p x2+x1 x2+p x3-x1 x3-x2 x3+(x3^2)},(p^3)-3 p q+3 r}
第2要素は 「((Subscript[x, 1])^3)+((Subscript[x, 2])^3)+((Subscript[x, 3])^3)=((((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3])))^3)-3((Subscript[x, 1])+(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 3]))((Subscript[x, 1])(Subscript[x, 2])+(Subscript[x, 2])(Subscript[x, 3])+(Subscript[x, 3])(Subscript[x, 1]))+3 (Subscript[x, 1])(Subscript[x, 2])(Subscript[x, 3 ])」を表します．

§4　公式(#)の証明 その2

§4-1 (Subscript[rmix, 2])=(Subscript[r, 1])(Subscript[r, 6])+(Subscript[r, 2])(Subscript[r, 5])+(Subscript[r, 4])(Subscript[r, 3]) の簡約(以下，rmixの添え数字は次数です)

これは  (Subscript[r, k]) を (Subscript[x, 0])~ (Subscript[x, 6]) の式に直し,  base  による「簡約」だけで求まります．なおMathematicaでは 「簡約」は「PolynomialReduce」を使います．

(RefLink[PolynomialReduce, paclet:ref/PolynomialReduce])[poly,{(Subscript[poly, 1]),(Subscript[poly, 2]),…},{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),…}]
(Subscript[poly, i]) によって poly  を簡約したリストを返す．求まるリストは{{(Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),…},b}の形であり，b は最小で，poly  は (Subscript[a, 1]) (Subscript[poly, 1])+(Subscript[a, 2]) (Subscript[poly, 2])+…+b に等しい．

[例]f=x^3+y^3;
p={x^2-y^2-1,x+2y-7};
PolynomialReduce[f,p,{x,y}]
{{x,1+(y^2)},7-2 y+7 (y^2)-(y^3)}

まずは (Subscript[rmix, 2]) を (Subscript[x, 0])~ (Subscript[x, 6]) の式で表して 「1 + ζ + (ζ^2)+⋯+(ζ^6)=0」 と 「ζ + (ζ^2)+(ζ^4)=(-1+(Sqrt[-7]))/2」 を使って簡単にします．

{r0,r1,r2,r3,r4,r5,r6}=lagrange.vars;

rmix2=PolynomialMod[(r1 r6+r2 r5 +r4 r3),Cyclotomic[7,ζ]]

次に base を使って, (Subscript[rmix, 2]) を簡約します．

PolynomialReduce[rmix2,base,vars]

これは 「rmix2 = (0, 0, 0, 7, -4 x0 - ⋯ + 3 x6)·base」 + (-7 a2) を表しますが，a2, a3, .. は単なる名前なので，baseは零ベクトルです．故に 「rmix2 = (簡約した余り) = -7 a2」 となります．

§4-2 (Subscript[rmix, 3])=((Subscript[r, 4])^2)(Subscript[r, 6])+((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 5])+((Subscript[r, 2])^2)(Subscript[r, 3])の簡約

まず (Subscript[rmix, 3]) を (Subscript[x, 0])~ (Subscript[x, 6]) の式で表して 「1 + ζ + (ζ^2)+⋯+(ζ^6)=0」 と 「ζ + (ζ^2)+(ζ^4)=(-1+(Sqrt[-7]))/2」 を使って簡単にします．

rmix3=(PolynomialMod[r4^2 r6+r1^2 r5 +r2^2 r3,Cyclotomic[7,ζ]]//Collect[#,ζ]&)/.{ζ^4->-ζ-ζ^2+1/2(-1+Sqrt[-7])}//Simplify

これは base で簡約しても簡単になりません．原論文では次の様になっています．(G=base)

For the first invariant F1,we compute its normal NF(F1)form by G.If it belongs to a basis of the free module of
  invariants (i.e.its leading term depends only on the (Subscript[x, i])),we　introduce a new indeterminate f1 and the polynomial 
  P1:=NF(F1)−f1.From now on,the normal form procedure is modified and consists in reducing first by G,
  then by P1, . . .,a polynomial being reducible by some Pi only if its leading term is the product
  of the leading term of Pi by a monomial which is independent of the (Subscript[x, i]).

これに従うと，次の様になると思います . （残念ながら原論文では式の形では述べられていません．上の説明文のみなので確信はありません.)   先ず rmix3, b3, c3, dp3, dm3 を base で簡約した余りを求め，それぞれ先頭を大文字にした名を与えます．

{Rmix3,B3,C3,Dp3,Dm3}=PolynomialReduce[#,base,{x6,x5,x4,x3,x2,x1,x0,a2,a3,a4,a5}][[2]]&/@{rmix3,b3,c3,dp3,dm3}

まずB3のLT(Leading Term)は (Subscript[x, i]) の式なので, B3は独立変数です．よって   Dp3を(B3-m1)で簡約します .  (m1はB3の名前で 不定変数(indeterminate))

DDp3=PolynomialReduce[Dp3,B3-m1,{x6,x5,x4,x3,x2,x1,x0,a2,a3,a4,a5,a6,a7}][[2]]

DDp3のLTは (Subscript[x, i]) の式なので, 独立変数です．よって   Dm3を{B3 - m1, DDp3 - m2}で簡約します . (m2はDp3の名前で 不定変数) .

DDm3=PolynomialReduce[Dm3,{B3-m1,DDp3-m2},{x6,x5,x4,x3,x2,x1,x0,a2,a3,a4,a5,a6,a7}][[2]]

DDm3のLTは (Subscript[x, i]) の式なので, 独立変数です．よって最後に Rmix3 を {B3 - m1, DDp3 - m2, DDm3-m3}で簡約します . (m3はDm3の名前で 不定変数) .

RRmix3=PolynomialReduce[Rmix3,{B3-m1,DDp3-m2,DDm3-m3},{x6,x5,x4,x3,x2,x1,x0,a2,a3,a4,a5,a6,a7}][[2]]//Expand

m1,m2,m3はそれぞれ B3,DDp3, DDm3 の「名前」なので {B3-m1,DDp3-m2,DDm3-m3} は零ベクトルです．よって Rmix3 を簡約した余りのみ考えて，「rmix3=-14a3-(b3/14)+((21 dp3)/4)-((7 dm3)/4)」となります．

以上の操作を自動化したプログラムが次の 「relation」です．relation[{v1,v2,v3,⋯,(Subscript[v, n])}] で (Subscript[v, n]) を (Subscript[v, 1])~(Subscript[v, n-1 ])の式で表します．ただし (Subscript[v, i]) の名前は (Subscript[m, i ])で，また(Subscript[v, 1])~(Subscript[v, n-1 ])(Subscript[は独立でv, n])が (Subscript[v, 1])~(Subscript[v, n-1 ])の生成するイデアルに入っている事が必要です．

relation[polys_List]:=Module[{vars,list,nbase,new,k},
vars={x6,x5,x4,x3,x2,x1,x0,A2,A3,A4,A5,A6,A7};
list=Simplify[PolynomialReduce[#,base,vars][[2]]&/@polys];
k=1;
nbase={list[[1]]-m1};
Do[k++;new=Simplify[PolynomialReduce[list[[k]],nbase,vars][[2]]];AppendTo[nbase,new-ToExpression["m"<>ToString[k]]],Length[polys]-2];
Expand@Simplify[PolynomialReduce[Last[list],nbase,vars][[2]]]]

rmix3 を 独立変数の集合 {dm3, dp3, b3} で表すときは，例えば 次の様に入力します．結果は上の RRmix3 と一致します．

relation[{dm3,dp3,b3,rmix3}]

【コメント1】ここで  例えば  B3とDp3の間にC3  も考えると次の様になります．
CC3=PolynomialReduce[C3,B3-m1,{x6,x5,x4,x3,x2,x1,x0,a2,a3,a4,a5,a6,a7}][[2]]98 a3-m1-98 a2 x1-98 (x0^2) x1-98 x0 (x1^2)-98 (x1^3)+98 (x0^2) x2+98 x0 x1 x2+98 x0 (x2^2)-98 a2 x3-98 (x0^2) x3-294 x0 x1 x3-196 (x1^2) x3-98 x0 x2 x3-98 x1 x2 x3-98 (x2^2) x3-98 x0 (x3^2)-196 x1 (x3^2)-98 x2 (x3^2)-98 (x3^3)+98 (x0^2) x4-98 (x1^2) x4+196 x0 x2 x4-98 x1 x2 x4+98 x0 x3 x4-196 x1 x3 x4+98 x0 (x4^2)-98 x1 (x4^2)-98 x0 x1 x5+98 x0 x2 x5+98 x1 x2 x5-98 x2 x3 x5-98 x2 x4 x5+98 x3 x4 x5

DDp3=PolynomialReduce[Dp3,{B3-m1,CC3-m2},{x6,x5,x4,x3,x2,x1,x0,a2,a3,a4,a5,a6,a7}][[2]]→　-2 a3+((m1+m2)/49)

DDp3 のLTは (Subscript[x, i]) の式でないから，Dp3は独立変数でありません．上の式は「dp3=-2a3+1/49(b3+c3 )」 を表します．

【コメント2】  グレブナー基底を使った計算では，時々ミスをするので，直接計算して確かめました．
rmix3-(14 s3-b3/14+21/4 dp3-7/4 dm3)//Factor

(5/2) (x0+x1+x2+x3+x4+x5+x6) (5 (x0^2)+24 x0 x1+5 (x1^2)+24 x0 x2+24 x1 x2+5 (x2^2)+24 x0 x3+24 x1 x3+24 x2 x3+5 (x3^2)+24 x0 x4+24 x1 x4+24 x2 x4+24 x3 x4+5 (x4^2)+24 x0 x5+24 x1 x5+24 x2 x5+24 x3 x5+24 x4 x5+5 (x5^2)+24 x0 x6+24 x1 x6+24 x2 x6+24 x3 x6+24 x4 x6+24 x5 x6+5 (x6^2))

「x0+x1+x2+x3+x4+x5+x6=0」と仮定しているので，確かに「rmix3=-14 a3-b3/14+21/4 dp3-7/4 dm3」 です．(a3=-s3です．)

【コメント3】 「グレブナー基底の威力」と「使いこなしの難しさ」 の両方を感じました．実は私は長い間 著者の真意がわからず，結果の式だけを見て「 rmix3 を a3 ,b3, dp3, dm3 で表すのだから， a3 ,b3, dp3, dm3 のグレブナー基底Gを作って, rmix3を Gで簡約すれば良いのでは?」と思っていました．しかしグレブナー基底が何日経っても計算できません．そこで著者のやり方をできる限り真似しようと考え，そのやり方を詳しく見てみると，例えば3次の同次式の不変式の関係を求めるのに，全次数の基本対称式のグレブナー基底からスタートしています．更に「H={B3 - m1, DDp3 - m2, DDm3 - m3}などはグレブナー基底ではないので，Hで簡約しても一意に決まらないはず．よってHのグレブナー基底を求めてから簡約しないといけない」と思っていましたが，どうやら簡約した結果が (Subscript[x, i]) を含まないときは，順序を変えても，一意に決まるみたいです．例えば 次の結果も RRmix3 と一致します.しかし実行時間は異なります．例えば下の計算は 0.7秒です．{dm3, dp3, b3, rmix3}では 0.2秒でした．

relation[{b3, dp3, dm3, rmix3}]→　-14 a3-((7 m1)/4)+((21 m2)/4)-(m3/14)

グレブナー基底は本当に奥が深いです．

§4-3 (Subscript[rmix, 4])=(Subscript[r, 4])((Subscript[r, 2])^2)(Subscript[r, 6])+(Subscript[r, 1])((Subscript[r, 4])^2)(Subscript[r, 5])+(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])の簡約

b4, c4, dp4  dm4  が独立であることを認めると，簡単に簡約できます．

rmix4=(PolynomialMod[r4 r2^2 r6+r1 r4^2 r5+r2 r1^2 r3,Cyclotomic[7,ζ]])/.{ζ^4->-ζ-ζ^2+1/2(-1+Sqrt[-7])}//Simplify;
relation[{b4,c4,dm4,dp4,rmix4}]

これは「(Subscript[rmix, 4])=-((98 (Subscript[a, 4]))/3)-((Subscript[b, 4])/42)+((Subscript[c, 4])/21)+((49 (SuperPlus[(Subscript[d, 4])]))/12)+((49 (SuperMinus[(Subscript[d, 4])]))/12)」 を意味します．

§4-4 (Subscript[rmix, 5])=((Subscript[r, 1])^4)(Subscript[r, 3])+((Subscript[r, 2])^4)(Subscript[r, 6])+((Subscript[r, 4])^4)(Subscript[r, 5])の簡約

これも b5, c5, b3  s2 , e5 , dp5, dm5   が独立であることを認めると，簡単に簡約できます．(以下の計算は20秒ほど掛かります.)

rmix5=(PolynomialMod[r1^4 r3+r2^4 r6+r4^4 r5,Cyclotomic[7,ζ]])/.{ζ^4->-ζ-ζ^2+1/2(-1+Sqrt[-7])}//Simplify;

relation[{b5,c5,b3 s2,e5,dp5,dm5,rmix5}]

これは  「(Subscript[rmix, 5])=-343 (Subscript[a, 5])-((3 (Subscript[b, 5]))/14)+((Subscript[c, 5])/7)+(Subscript[b, 3]) (Subscript[a, 2])+7 (Subscript[e, 5])-((343 (SuperPlus[(Subscript[d, 5])]))/4)-((343 (SuperMinus[(Subscript[d, 5])]))/4) 」 を表します．

私の計算ではこの様に (Subscript[c, 5]) の係数は 1/7 となりましたが，原論文では(-1/7)となっていました．以上から次の関係式が確かめられました．

({{{, ({{(Subscript[r, 1])(Subscript[r, 6])+(Subscript[r, 2])(Subscript[r, 5])+(Subscript[r, 4])(Subscript[r, 3])=-7(Subscript[a, 2]), (16)}, {((Subscript[r, 4])^2)(Subscript[r, 6])+((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 5])+((Subscript[r, 2])^2)(Subscript[r, 3])=-(1/14)(Subscript[b, 3])+(21/4)(SuperPlus[(Subscript[d, 3])])-(7/4)(SuperMinus[(Subscript[d, 3])])-14(Subscript[a, 3]), (17)}, {(Subscript[r, 4])((Subscript[r, 2])^2)(Subscript[r, 6])+(Subscript[r, 1])((Subscript[r, 4])^2)(Subscript[r, 5])+(Subscript[r, 2])((Subscript[r, 1])^2)(Subscript[r, 3])=(1/21)(Subscript[c, 4])-(1/42)(Subscript[b, 4])+(49/12)(SuperPlus[(Subscript[d, 4])])+(49/12)(SuperMinus[(Subscript[d, 4])])-(98/3)(Subscript[a, 4]), (18)}, {((Subscript[r, 1])^4)(Subscript[r, 3])+((Subscript[r, 2])^4)(Subscript[r, 6])+((Subscript[r, 4])^4)(Subscript[r, 5])=7 (Subscript[e, 5])+(1/7)(Subscript[c, 5])-((3 )/14)(Subscript[b, 5])-((343 (SuperPlus[(Subscript[d, 5])]))/4)-((343 (SuperMinus[(Subscript[d, 5])]))/4)+(Subscript[b, 3]) (Subscript[a, 2])-343 (Subscript[a, 5]), (19)}})}})

(Subscript[上式の右辺をk, 1])~(Subscript[k, 4])と置くと，(Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]),(Subscript[r, 4]) が決まっているときは,次の (Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 5]),(Subscript[r, 6 ])に関する連立一次方程式となります．左辺の行列のrankが3以上ならば，(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 5]),(Subscript[r, 6]) が (Subscript[r, 1]) の式で表せます．

(RowDefault[(({{r1, r2, r4}, {(r4^2), (r1^2), (r2^2)}, {(r2^2) r4, r1 (r4^2), (r1^2) r2}, {(r2^4), (r4^4), (r1^4)}})), (({{r6}, {r5}, {r3}})), =, (({{k1}, {k2}, {k3}, {k4}}))])

§5  mat の⾏列式

(16), (17), (18) 式の左辺が作る行列matの行列式を det (16, 17, 18) などと書くと，以下の様になります.  (原論文ではdet3の ((Subscript[b, 4])^2)の係数は (-(1/49))となっていました. ここは私の計算結果を載せました.)

({{{, ({{det1=det(16,17,18)=-(1/7)(Subscript[b, 6])-(1/49)((Subscript[b, 3])^2), (20)}, {det2=det(16,17,19)=-(Subscript[b, 7])-(4/49)(Subscript[b, 3]) (Subscript[b, 4]), (21)}, {det3=det(16,18,19)=(1/49)((Subscript[b, 4])^2)-(3/196)(Subscript[b, 3]) (Subscript[b, 5]), (22)}})}})

(Subscript[まず左辺をr, k])の式で表します．

Clear[r1,r2,r3,r4,r5,r6,k1,k2,k3,k4]
mat={{r1,r2,r4},{r4^2, r1^2, r2^2 },{r4 r2^2, r1 r4^2, r2 r1^2},{r2^4,r4^4,r1^4}};
det1=Det[mat[[{1,2,3}]]]
det2=Det[mat[[{1,2,4}]]]
det3=Det[mat[[{1,3,4}]]]

原論文では 【命題14】 と同様の方法((Subscript[r, k])と (Subscript[b, i]) 混合のグレブナー基底)で求めていますが，私はそもそも 【命題14】 でもその方法が再現できなかったので，ここでは両辺を (Subscript[x, 0])~  (Subscript[x, 6]) の式に直し，§3の 「relation」て証明します．

実行時間が1分ほどかかるので, text形式で，結果のみ表示します．

det1 = det1 /. AssociationThread[{r0, r1, r2, r3, r4, r5, r6} -> lagrange . vars];
det1 = (PolynomialMod[det1, Cyclotomic[7, ζ]] // Collect[#, ζ] &) /. {ζ^4 -> -ζ - ζ^2 + 1/2 (-1 + Sqrt[-7])} // Simplify;(*(Subscript[x, 0])~(Subscript[x, 6])の式に直す*)
relation[{b6,b3^2, det1}]

-(m1/7)-(m2/49)

これは 「det1=-((Subscript[b, 6])/7)-(((Subscript[b, 3])^2)/49)」 を表します．

実行時間が5分ほどかかるので, text形式で，結果のみ表示します．

det2 = det2 /. AssociationThread[{r0, r1, r2, r3, r4, r5, r6} -> lagrange . vars]
det2 = (PolynomialMod[Simplify[det2], Cyclotomic[7, ζ]] // Collect[#, ζ] &) /. {ζ^4 -> -ζ - ζ^2 + 1/2 (-1 + Sqrt[-7])} ;
relation[{b7, b4 b3, det2}]

-m1-((4 m2)/49)

これは 「det2=-(Subscript[b, 7])-(4/49)(Subscript[b, 3]) (Subscript[b, 4])」 を表します．

実行時間が10分ほどかかるので, text形式で，結果のみ表示します．

det3 = det3 /. AssociationThread[{r0, r1, r2, r3, r4, r5, r6} -> lagrange . vars];
det3 = (PolynomialMod[Simplify[det3], Cyclotomic[7, ζ]] // Collect[#, ζ] &) /. {ζ^4 -> -ζ - ζ^2 + 1/2 (-1 + Sqrt[-7])} ;
relation[{b4^2, b5 b3, det3}]

(m1/49)-((3 m2)/196)

これは「(1/49)((Subscript[b, 4])^2)-(3/196)(Subscript[b, 3]) (Subscript[b, 5])」を表します．

【コメント】原論文では「det3=-(1/49)((Subscript[b, 4])^2)-(3/196)(Subscript[b, 3]) (Subscript[b, 5])」となっていましたが，これはミスプリだと思います．

例えば 「vars={x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6} → {1, -1, 1, -1, 1, -1, 0}」 を代入して確かめました．

det3 = det3 /. AssociationThread[{r0, r1, r2, r3, r4, r5, r6} -> lagrange . vars];
det3 = (PolynomialMod[Simplify[det3], Cyclotomic[7, ζ]] // Collect[#, ζ] &) /. {ζ^4 -> -ζ - ζ^2 + 1/2 (-1 + Sqrt[-7])};
det3 + 1/49 b4^2 + 3/196 b3 b5 /. AssociationThread[vars -> {1, -1, 1, -1, 1, -1, 0}] // Simplify
det3 - 1/49 b4^2 + 3/196 b3 b5 /. AssociationThread[vars -> {1, -1, 1, -1, 1, -1, 0}] // Simplify

22050

0

§6  (#)から(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 5]),(Subscript[r, 6])を(Subscript[r, 1])の式で表す

「FormulaPart1.nb」 より「(Subscript[b, 3])=⋯=(Subscript[b, 6])=0,(Subscript[b, 7])≠0」,「(Subscript[b, 3])=0,(Subscript[b, 4])(Subscript[b, 5])(Subscript[b, 6])(Subscript[b, 7])≠0」,「(Subscript[b, 3])≠0」の3通りを考えると良いです．

({{{, ({{(Subscript[b, 3])=⋯=(Subscript[b, 6])=0,(Subscript[b, 7])≠0のとき, det2=det(16,17,19)≠0}, {(Subscript[b, 3])=0,(Subscript[b, 4])(Subscript[b, 5])(Subscript[b, 6])(Subscript[b, 7])≠0のとき, det1=det(16,17,18)≠0}, {(Subscript[b, 3])≠0のとき, det1=det(16,17,18)≠0　または
det3=det(16,18,19)≠0}})}})

上の2つは明らか．一番下の式はちょっと面倒．(Subscript[R, 1])=((Subscript[r, 1])^(7 ))がみたす3次方程式をR(x)とおくと，「Formula1.nb 式(12)」 より，Rは下の式

ClearAll[b3,b4,b5,b6,b7,R]

R[{b3_,b4_,b5_,b6_,b7_}]=(x^3)+(((b3 b4)/14)+b7) (x^2)+(-(((b3^2) (b4^2))/9604)-(((b3^3) b5)/38416)-((b4 (b5^2))/1372)+((b3 b5 b6)/1372))x+((((b3/14)))^7);

このとき下の補題が成り立ちます．

【補題16】「(Subscript[b, 3])≠0」かつ det1=det3=0のとき，R は３重解を持つ

原論文では以下の様に述べています．(記号は少し変更しています)

Let  us  consider  the  Grobner  basis  of  the  relations  between  the  (Subscript[b, i]), named  Gb2  in  the  proof  of  Proposition  14.  The  hypotheses  is  that  we  have  three  more  relations  7  (Subscript[b, 6]) + ((Subscript[b, 3])^2) = 0, 4  ((Subscript[b, 4])^2) + 3  (Subscript[b, 3])  (Subscript[b, 5]) = 0  and  b3  v − 1 = 0, the  latter, which  introduces  a  new  variable, implying  that  b3 ≠ 0.  Adding  to  Gb2  the  left  hand  sides  of  these  relation, let  Gb3  be  the  Grobner  basis  the  lexicographical  ordering  v > (Subscript[b, 7]) > (Subscript[b, 6]) > (Subscript[b, 5]) > (Subscript[b, 4]) > (Subscript[b, 4]) . The  first  element  of  Gb3  is  the  square  of  112  ((Subscript[b, 4])^3) + 27  ((Subscript[b, 3])^4) . Let  Gb4  be  the  Grobner  basis  for  the  same  ordering  of  the  ideal  which  is  obtained  by  adding  this  polynomial  to  Gb4 . This  Grobner  basis  consists  in  8  binomials . Now, let  us  consider  Equation  12, which  has  (r1^7), (r2^7)  and  (r4^7)  as  roots . It  has  the  shape  ((Subscript[R, 1])^3) + A ((Subscript[R, 1])^2) + B  (Subscript[R, 1]) + C  where  A, B, C  are  polynomials  in  the  (Subscript[b, i]) . Its  three  roots  are  equal  if  and  only  if  3 B − (A^2)  and  27 C − (A^3)  are  both  null . As  the  normal  forms  by  Gb4  of  these  two  polynomials  is  null  the  lemma  is  proved .

まず 「Formula1 . nb」 よりGb2は次の様に，また原論文ではGb3は次の様になります．

Gb2={b3^5-16 b3 b4^3+20 b3^2 b4 b5+28 b5^3-4 b3^3 b6-112 b4 b5 b6+112 b3 b6^2,b3^2 b4+b5^2-4 b4 b6+14 b3 b7,-b3^4+16 b4^3+8 b3 b4 b5+4 b3^2 b6-112 b6^2+392 b5 b7};
Gb3=GroebnerBasis[Join[Gb2,{7 b6+b3^2, 4b4^2+3b3 b5,b3 v-1}],{v,b7,b6,b5,b4,b3}]

しかし御覧のように，「(((112 (b4^3)+27 (b3^4)))^2)=729(b3^8)+6048 (b3^4)(b4^3)+12544 (b4^6)」が現れません．一方，先のミスプリを訂正して「4((Subscript[b, 4])^2)+3(Subscript[b, 3])(Subscript[b, 5])→4((Subscript[b, 4])^2)―3(Subscript[b, 3])(Subscript[b, 5])」とすると，ちゃんと現れます．

Gb3=GroebnerBasis[Join[Gb2,{7 b6+b3^2, 4b4^2-3b3 b5,b3 v-1}],{v,b7,b6,b5,b4,b3}]

この後，原論文に従ってGb4を求めます．

Gb4=GroebnerBasis[Append[Gb3,112 b4^3+27 b3^4],{v,b7,b6,b5,b4,b3}]

次に 「poly1=3B-(A^2), poly2=27C-(A^3)」 を求めて,Gb4で簡約します

Clear[b3,b4,b5,b6,b7]
{$A,$B,$C}=CoefficientList[R[{b3,b4,b5,b6,b7}],x,3]//Reverse;
poly1=3 $B-$A^2//Simplify
poly2=27 $C-$A^3//Simplify

PolynomialReduce[poly1,Gb4,{b7,b6,b5,b4,b3}][[2]]
PolynomialReduce[poly2,Gb4,{b7,b6,b5,b4,b3}][[2]]

故に，「(Subscript[b, 3])≠0」かつ 「det1=det3=0」のとき，R は3重解を持ちます．しかし 「(Subscript[b, 3])≠0の時，Rが重解を持てば fが可約となる」ので（原論文参照）「(Subscript[b, 3])≠0のとき det1≠0またはdet3≠0」となります．

以上より，常に (Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 5]),(Subscript[r, 6 ])は (Subscript[r, 1]) の式で表されます.

§7   7乗根の選び方

((Subscript[r, 1])^7)=(Subscript[R, 1]) の7乗根をとるとき 7通りの取り方がありますが，どのようにとっても「f=0」の解集合は変わりません．例えば「(Subscript[r, 1])→(Subscript[r, 1])ζ(ζは1の原始7乗根)」とすると，「Formula1.nb」の(13)(14)より「(Subscript[r, 2])→(Subscript[r, 2])(ζ^2), (Subscript[r, 4])→(Subscript[r, 4])(ζ^4)」. さらに(16)~(19)より,(Subscript[r, 3]),(Subscript[r, 5]),(Subscript[r, 6])が解の時「(Subscript[r, 3])→(Subscript[r, 3])(ζ^3),(Subscript[r, 5])→(Subscript[r, 5])(ζ^5),(Subscript[r, 6])→(Subscript[r, 6])(ζ^6)」も解となります．ところがLagrangeの逆変換より，この (Subscript[r, k]) の変換によっては (Subscript[x, 0])~(Subscript[x, 6]) の値は変わりません．従って7乗根をどの様に選んでも解は変わりません．